Pour faire le point.

Que sont les sommes de Riemann ?

Une somme de Riemann est une approximation de l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative d'une fonction et l'axe des abscisses sur un intervalle donné. On découpe l'intervalle en nn intervalles et sur chacun, on construit des figures géométriques simples (comme des rectangles ou des trapèzes). La somme des aires de ces figures est alors une approximation de l'aire cherchée.
Dans une somme de Riemann à gauche, nous approchons l'aire en construisant des rectangles (généralement de largeurs égales) et la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction de l'extrémité gauche de l'intervalle sur lequel il est construit.
Dans une somme de Riemann à droite, la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction de l'extrémité droite de l'intervalle sur lequel il est construit.
Dans une somme de Riemann au milieu, la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction du milieu de l'intervalle sur lequel il est construit.
On peut aussi construire des trapèzes afin d'approcher l'aire sous une courbe (la méthode des trapèzes). Dans ce cas, la longueur des bases de chaque trapèze sont les images par la fonction des bornes de l'intervalle sur lequel il est construit.
Quelque soit la méthode, lorsque le nombre nn de sous-intervalles augmente, l'approximation de l'aire sous la courbe devient plus précise. L’approximation sera donc d’autant meilleure que le découpage de l'intervalle est important.
Par la suite, nous appellerons les approximations qui ont recours à des rectangles sommes de Riemann et celles qui ont recours à des trapèzes méthode des trapèzes.

1 : Approcher l'aire sous une courbe avec les sommes de Riemann

Exercice 1.1
Approcher l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction ff, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0x=0 et x=8x=8 en appliquant la méthode de la somme de Riemann à droite avec 33 subdivisions inégales.
xx00334488
f(x)f(x)2255771111
La valeur approchée de l'aire est
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
unités d'aire.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercises.

2 : Approcher l'aire sous une courbe avec la méthode des trapèzes

Exercice 2.1
Approcher l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction hh, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=3x=3 et x=11x=11 en appliquant la méthode des trapèzes avec 44 subdivisions égales.
xx335577991111
h(x)h(x)336644881212
La valeur approchée de l'aire est
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
unités d'aire.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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