Comprendre la méthode des trapèzes

Un exemple d'application de la méthode des trapèzes et deux exercices qui vous permettront de vérifier si vous avez bien compris.
Nous savons à présent que nous pouvons approcher l'aire sous la courbe représentative d'une fonction sur un intervalle donné par la somme des aires de rectangles (somme de Riemann ou méthode des rectangles). Dans la méthode des rectangles, on remplace ff par la valeur qu'elle prend sur une borne de l'intervalle (borne inférieure ou extrémité gauche, borne supérieure ou extrémité droite). Comme on ne voit pas de raison de privilégier l'une des bornes, il est peut-être judicieux d'approximer ff par la moyenne des valeurs qu'elle prend aux deux extrémités de l'intervalle. La moyenne des aires des rectangles est aussi l'aire du trapèze délimité par une fonction affine qui prend les mêmes valeurs que ff aux extrémités. C'est la méthode des trapèzes.
Idée-clé : En approchant l'aire du domaine par la somme des aires des trapèzes ('' méthode des trapèzes ''), nous obtenons une approximation plus précise de cette aire qu'en approchant l'aire du domaine par la somme des aires des rectangles ('' méthode des rectangles '').

Exemple de la méthode des trapèzes

Nous allons approximer l'aire sous la courbe représentative de la fonction f:x3ln(x)f : x↦3 \ln(x) sur l'intervalle [2;8][2; 8] en construisant trois trapèzes.
Soit le domaine compris délimité par la courbe représentative de ff, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2x= 2 et x=8x=8. On découpe l'intervalle [2 ;8][2~;8] en trois intervalles de même amplitude et sur chacun on construit des trapèzes. Nous appelons le premier trapèze T1T_1, le deuxième T2T_2, et le troisième T3T_3.
On rappelle que l'aire d'un trapèze est égale à la moitié du produit de la somme des longueurs de sa grande base et de sa petite base par sa hauteur : h×(b1+b22)h×\left(\dfrac{b_1 + b_2}{2}\right), où hh est sa hauteur et b1b_1 et b2b_2 sont ses bases.

Trouver l'aire T1T_1 du premier trapèze

Le trapèze est "posé " sur sa hauteur.
Le trapèze est construit sur l'intervalle [2 ;4][\greenD 2~; \maroonD 4]. Sa hauteur hh a pour mesure l'amplitude de cet intervalle : 22.
La première base b1b_1 a pour longueur l'image de 2 \greenD 2 par la fonction f:x3ln(x)f :x↦ 3 \ln(x), soit f(3)=3ln(2)f(3)=3 \ln (\greenD 2).
La deuxième base b2b_2 a pour longueur l'image de 4 \maroonD 4 par la fonction f:x3ln(x)f :x↦ 3 \ln(x), soit f(4)=3ln(4)f(4)=3 \ln (\maroonD 4).
On obtient :
L'aire T1T_1 du premier trapèze est donc égale à :
T1=h(b1+b22)T_1 = h \left(\dfrac{b_1 + b_2}{2}\right)
T1=2×(3×ln(2)+3×ln(4)2)T_1 = 2 ×\left(\dfrac{3×\ln(\greenD2) + 3×\ln(\maroonD4)}{2}\right)
On réduit :
T1=3×(ln(2)+ln(4))T_1 = 3×(\ln(\greenD 2) + \ln(\maroonD 4))

Trouver l'aire T2T_2 du deuxième trapèze

On cherche les mesures de la hauteur et des deux bases :
h=2h = 2
b1=3ln(4)b_1 = 3 \ln(4)
b2=3ln(6)b_2 = 3 \ln(6)
On remplace et on simplifie :
T2=3×(ln(4)+ln(6))T_2 = 3×(\ln(4) + \ln(6))

Trouver l'aire T3T_3 du troisième trapèze

T3=T_3 =
Réponse :
Réponse :

T3=3(ln(6)+ln(8))T_3 = 3(\ln(6) + \ln(8))

Donner une approximation de l'aire totale

Nous approchons l'aire totale par la somme des aires de chacun des trois trapèzes :
Aire totale=T1+T2+T3\text{Aire totale} = T_1 + T_2 + T_3
On obtient après simplification :
Aire totale=3×(ln2+2ln4+2ln6+ln8)\text{Aire totale} = 3×\big(\ln2+2\ln 4+ 2\ln 6+\ln 8\big)
Faites une pause ici en reprenant le calcul afin de vous assurer que vous avez bien compris comment on obtient ce résultat.

Exercice d'application

L'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f:x2ln(x) f: x↦ 2 \ln(x), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2x=2 et x=8x= 8 est approximée par la somme de l'aire de trois trapèzes dont l'expression est :
Réponse :
Réponse :

L'aire du trapèze est
A=12(B1+B2)×h\qquad\displaystyle A=\dfrac12\Big(B_1+B_2\Big)\times h
 B1 ~B_1~ et  B2 ~B_2~ sont les longueurs des bases et  h ~h~ celle de la hauteur.
T1=12(2ln2+2ln3,5)×32=32(ln2+ln3,5)\displaystyle T_1=\dfrac12\big(2\ln2+2\ln3{,}5\big)\times\dfrac32=\dfrac32\Big(\ln2+\ln3{,}5\Big)
T2=12(2ln3,5+2ln5)×32=32(ln3,5+ln5) T_2=\dfrac12\big(2\ln3{,}5+2\ln5\big)\times \dfrac32=\dfrac32\Big(\ln3{,}5+\ln5\Big)
T3=12(2ln5+2ln6,5)×32=32(ln5+3ln6,5)\displaystyle T_3=\dfrac12\big(2\ln5+2\ln6{,}5\big)\times\dfrac32=\dfrac32\Big(\ln5+3\ln6{,}5\Big)
T4=12(2ln6,5+2ln8)×32=32(ln6,5+ln8)\displaystyle T_4=\dfrac12\big(2\ln6{,}5+2\ln8\big)\times\dfrac32=\dfrac32\Big(\ln6{,}5+\ln8\Big)
On fait leur somme :
32ln2 + 3ln3,5 + 3ln5 + 3ln6,5 + 32ln8\dfrac32\ln2~+~3\ln 3{,}5~+~3\ln 5~+~3\ln 6{,}5~+~\dfrac32\ln8\,
On réduit :
32(ln2+2ln3,5+2ln5+2ln6,5+ln8)\dfrac32\big(\ln2+2\ln 3{,}5+ 2\ln 5+2\ln 6{,}5+\ln 8\big)\,

Un dernier exercice

L'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1x=-1 et x=5x= 5 est approximée par la somme de l'aire de trois trapèzes dont l'expression est :
Réponse :
Réponse :

L'aire du trapèze est
A=12(B1+B2)×h\qquad\displaystyle A=\dfrac12\Big(B_1+B_2\Big)\times h
 B1 ~B_1~ et  B2 ~B_2~ sont les longueurs de ses bases et  h ~h~ celle de sa hauteur.
T1=12(f(1)+f(1))×2=f(1)+f(1)T_1=\dfrac12\Big(f(-1)+f(1)\Big)\times 2=f(-1)+f(1)
T2=12(f(1)+f(3))×2=f(1)+f(3)T_2=\dfrac12\Big(f(1)+f(3)\Big)\times 2=f(1)+f(3)
T3=12(f(3)+f(5))×2=f(3)+f(5)T_3=\dfrac12\Big(f(3)+f(5)\Big)\times 2=f(3)+f(5)
On fait leur somme :
f(1)+2×f(1)+2×f(3)+f(5)f(-1)+2\times f(1)+ 2\times f(3)+f(5)\,
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