Intégration par parties - Savoirs et savoir-faire

C'est une méthode qui permet dans certains cas de trouver une primitive du produit de deux fonctions. Voici la formule :

ou encore

Démonstration : Si $u$u et $v$v sont deux fonctions dérivables, d'après la formule de dérivation du produit de deux fonctions : $(uv)'=u'v+v'u$left parenthesis, u, v, right parenthesis, prime, equals, u, prime, v, plus, v, prime, u, donc $u'v=(uv)'-v'u$u, prime, v, equals, left parenthesis, u, v, right parenthesis, prime, minus, v, prime, u. D'après la linéarité des primitives, primitive de $u'v$u, prime, v = primitive de $(uv)'-$left parenthesis, u, v, right parenthesis, prime, minus primitive de $v'u$v, prime, u et primitive de $u'v$u, prime, v = $uv-$u, v, minus primitive de $v'u$v, prime, u

Soit à calculer $\displaystyle\int x\cos x\,dx$integral, x, cosine, x, d, x. On pose $u = x$u, equals, x et $dv=\cos(x) \,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x :

$u=x$u, equals, x donc $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=\cos(x)\,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x donc $v = \sin(x)$v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

On applique la formule :

N’oubliez pas que vous pouvez toujours vérifier vos calculs en dérivant le résultat obtenu !

Soit à calculer $\displaystyle\int^5_0 xe^{-x}dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. On pose $u = x$u, equals, x et $dv=e^{-x} \,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x :

$u=x$u, equals, x donc $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=e^{-x}\,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x donc $v = -e^{-x}$v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.

On applique la formule :