Théorème des valeurs intermédiaires - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez compris et mémorisé.

Le théorème des valeurs intermédiaires

Si la fonction ff est continue sur [a;b][a ; b], alors ff prend au moins une fois toute valeur comprise entre f(a)f(a) et f(b)f(b).
ce qui signifie que quel que soit le réel LL compris entre f(a)f(a) et f(b)f (b), il existe au moins un réel cc appartenant à [a;b][a ; b] tel que f(c)=Lf(c) = L.
Graphiquement, une fonction continue sur un intervalle II est une fonction dont on peut tracer la courbe représentative sur II sans lever le crayon. Si la fonction ff est continue sur l'intervalle [a ;b][a~;\,b] et si sa courbe passe par les points de coordonnées (a,f(a))(a,f(a)) et (b,f(b))(b,f(b))...
... alors quel que soit le réel yy compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), la courbe passe au moins une fois par un point d'ordonnée yy.

A quoi sert ce théorème ?

Soit ce tableau de valeurs de la fonction ff continue sur R. On peut en déduire que l'équation f(x)=2f(x)=2 a au moins une solution et un encadrement de la solution, ou des solutions.
xx2-21-10011
f(x)f(x)44331-111
f(1)=3f(-1)=3 et f(0)=1f(0)=-1. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, sur l'intervalle [1,0][-1,0], la fonction ff prend au moins une fois toute valeur comprise entre 1-1 et 33.
22 est compris entre 1-1 et 33, donc il existe au moins un réel cc appartenant à [1,0][-1,0] tel que f(c)=2f(c)=2. Par conséquent, il existe au moins un réel cc compris entre 1-1 et 00, solution de l'équation f(x)=2f(x)=2.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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