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Limite en +∞ d'un quotient comportant sin x ou cos x : limite indéfinie

Transcription de la vidéo

alors on va essayer de calculer cette limite la limite quand x tend vers plus l'infini 2x au carré + 1 / sinus 2x alors mais la vidéo sur pause essaye de le faire de ton côté et on se retrouve donc ici en fait on peut aborder cette limite là de manière traditionnelle en regardant vers quoi tend le numérateur et vers quoi le temps le dénominateur ici pour le numérateur x o car est plus un et bien si x tend vers plus l'infini x au carré va tendre vers plus cela finit encore plus rapidement et puis on ajoute un donc le numérateur lui il temps c'est assez clair vers plus l'infini ensuite pour le dénominateur donc cette valeur ici cygnus x on va utiliser un argument qu'on a déjà utilisé c'est le fait que la fonction cygnus x elle est borné en fait signe 6 sinus ix est toujours plus petit que 1 et aussi toujours plus grand que moi alors qu'est ce que ça veut dire ça pour notre limite c'est que finalement on a un nombre qui tend vers plus l'infini qui est très grand et qu'on va diviser par quelque chose qui est toujours compris entre -1 et 1 alors là tu pourrais dire puisque je divise un nombre très très grand par quelque chose qui est compris entre -1 et 1 finalement la fraction qui est ici va tendre à + l'infini mais il faut faire attention parce qu'en fait la fonction cygnus x elle oscille entre -1 et 1 mais du coup elle passe de valeurs négatives a des valeurs positives donc ici ce qu'on va faire c'est prendre un nombre très très très grand et / fois par un nombre positif et parfois par un nombre négatif donc ça ça va changer tout en fait puisque quand x grandi ici qui tend vers plus l'infini on passe tantôt d'une valeur positive à une valeur négative puis d'une valeur négative à une valeur positive et ainsi de suite donc ça ça suffit pour dire que finalement cette limite là elle n'existe pas elle n'existe pas hélas ce que je veux dire c'est que c'est pas simplement qu'elle n'est pas borné c'est pas simplement de cette fonction-là n'est pas borné c'est qu'on ne peut pas définir la limite de cette fonction quand x tend vers plus l'infini pour la raison que je viens d'évoquer c'est qu'on passe de valeur négative à positive sans arrêt et inversement et puis il ya aussi autre chose c'est qu'on a des tas dassin pts un chaque fois que ici nu 6 est égal à zéro et bien la fonction qui hélas n'est pas défini et on a une un symptôme verticale alors ça va être encore plus clair si je te montre le graphique de cette fonction la courbe représentative de cette fonction les tracés ici et tu vois ce qui se passe disons qu'on part dit si on augmente les valeurs de x donc les images deviennent de plus en plus grandes comme ça positive et puis tout d'un coup on se retrouve sur l'autre branche et on a des valeurs qui deviennent de plus en plus négative et puis là on a une asymptote verticale ensuite on avance et se passe exactement la même chose quand x augmente la valeur de la fonction augmente on a une asymptote verticale encore et on se retrouve sur l'autre branche qui est en bas et la valeur diminue de plus en plus comme ça et on retrouve exactement ce même phénomène plus on augmente les x avec à chaque fois un phénomène amplifié comme ça donc quand on regarde ce graphique je pense que c'est très très clair que la limite de cette fonction là n'existe pas quand x tend vers plus l'infini