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Limite en l'infini d'un quotient avec des racines carrées (degré pair)

Transcription de la vidéo

bonjour on va essayer de calculer cette limite là la limite quand x tend vers plus l'infini de racines de 4x puissance 4 - x / 2 x au carré +3 alors quand on doit calculer la limite en plus ou moins l'infini d'une expression comme ça qui comporte un quotient qui est un quotient de deux expressions et bien en général ça c'est utile de considérer le terme le plus haut degré du numérateur et le terme de plus haut degré du dénominateur et puis ensuite de diviser le numérateur par le terme de plus haut degré du numérateur et de faire la même chose au dénominateur c'est à dire diviser le dénominateur par le terme de plus haut degré du dénominateur alors c'est ce qu'on va faire et tu vas voir que c'est utile parce que dans ce cas là on va se retrouver avec un produit dans lequel un des facteurs va être une constante et l'autre quelque chose qui tend à 1 alors je vais le faire ici au numérateur le plus haut degré ses 4 en 4 x puissance 4 donc le plus haut degré c'est bien ça x puissance 4 et comme on en prend la racine carrée bien en fait on va avoir un x au carré ici donc ce que je vais faire c'est diviser tous à paris xe au carré donc je vais x 1 sur x au carré et puis au dénominateur c'est pareil le plus haut degré qu'on a c'est x au carré donc je vais aussi multipliés en bas par un sur x au carré voilà donc là je mets des parenthèses et donc tu vois qu'on a absolument pas changé l'expression puisque j'ai multiplié par 1 sur x au carré en haut et en bas donc on n'a rien changé à notre expression qui était donnée ici alors maintenant avant de m'avancer dans le calcul des limites je vais fermer simplification un petit peu à part donc déjà un sur six au carré fois racine carrée de 4x puissance 4 - 2 ça c'est la même chose que 1 sur racine carrée 2x puissance 4 racine carrée de x puissance 4 c'est bien égal à ixxo carré x racine carrée de 4x puissance 4 - 2 alors c'est pas moins de g jeudi - 2 mais c'est moins x ici aussi voilà j'avais mal recopier l'expression est donc ça c'est égal à alors je peux écrire en fait une racine carrée de 4x puissance 4 - x / racine carrée de l'ex puissance 4 donc ça je peux l'écrire comme ça ses racines carrées de 4x puissance 4 - x le tout divisé par x puissance 4 hélas ce que je vais faire ben en fait je vais décomposer ça en une différence alors ici je vais avoir 4x puissance 4 sur x puissance 4 mais ça en fait 4 x puissance 4 sur x puissance 4 je peux l'écrire comme 4-1 simplement en divisant par x puissance 4 les x puissance 4 se simplifient et puis - x sur x puissance 4 et ça ça va me donner un sur x puissance 3 ans donc ça je vais l'écrire comme ça - sur x puissance 3 ça c'est le numérateur et maintenant le dénominateur alors je vais le faire ici un sur x au carré x 2 x au carré +3 là je vais tout simplement développer donc ça me donne 2 x au carré / x au carré et ça en fait des saf est tout simplement 2 plus 3 x 1 sur x au carré donc trois sur x au carré alors ça c'est très intéressant parce que du coup la limite qu'on devait calculé ici et bien c'est la limite quand x tend vers plus l'infini de cette expression là alors au numérateur g racine carrée de 4 - zain sur x au cube et puis au dénominateur j'ai de plus 3 / x au carré maintenant on peut regarder ce qui se passe en fait dans le numérateur quand x tend vers plus l'infini le terme 1 sur x au cube tend vers zéro et donc toute la racine carrée ici qu'est au numérateur elle tend vers racines de 4 racines de 4 c'est à dire 2 mai puis au dénominateur c'est pareil 3 sur x au carré ce terme-là tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini et donc le numérateur au total il tend vers 2 donc finalement la limite de notre quotient et bien c'est 2 sur 2 c'est à dire un voilà et là on a terminé alors peut-être que tu ne comprends pas très bien pourquoi j'ai fait tout ce travail là parce que ici finalement ce que j'arrive ce que j'utilise cette dernière égalité c'est le fait que la limite d'un quotient et le quotient des limites et ça c'est quelque chose qu'on aurait pu faire dès le départ ici le problème c'est que le numérateur ici d'anvers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini est le dénominateur aussi tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini donc ce qu'on obtient si on passe directement par l'expression qui nous est donnée au départ sans faire le travail qu'on vient de faire et bien c'est qu'on obtient une forme indéterminée plus l'infini sur plus infinie et que du coup on est coincé il faut faire autrement donc voilà ça c'est une technique qui est très utile c'est de diviser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré