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Transcription de la vidéo
Bienvenue à la présentation des limites. Commençons par quelques-- bien, d'abord une expliquation avant que je ne résolve des problèmes. Alors, disons que j'avais-- laissez-moi vérifier que j'utilise la couleur qui convient et que mon stylet fonctionne. OK, disons que j'ai la limite, et je vais expliquer ce qu'est une limite dans un instant. Mais, pour l'écrire, on dit que la limite-- oh, la couleur n'est pas ce que je voulais-- OK, je choisis le pinceau et jaune. OK, la limite de f(x) quand x tend vers 2 pour x² Bon, dit plus simplement : vers quelle valeur est-ce que l'expression x² tend à mesure que x se rapproche de 2 ? Bien, c'est assez simple. Si on regarde-- je devrais au moins dessiner un graphique Je garde cette couleur jaune. Alors, laissez-moi dessiner. x² ressemble un peu à-- je vais me servir d'une couleur différente. x² ressemble un peu à ça, n'est-ce pas ? Et quand x est égal à 2, y, ou l'expression-- parce qu'on n'a pas dit à quoi cela est égal. C'est juste l'expression soit x² qui est égal à 4, n'est-ce pas ? Donc, une limite signifie : à mesure que x tend vers 2 des deux côtés, autant les réels à gauche de 2 que les réels à droite de 2, de quoi l'expression se rapproche-t-elle ? Et, peut-être que vous voyez, je pense, déjà où ça va mener et vous vous demandez pourquoi on se donne la peine d'apprendre ce nouveau concept parce qu'il semble assez évident, mais quand x-- quand on rapproche x de 2 de ce côté, et quand on rapproche x de 2 de ce côté, à quoi est l'expression est égale ? Bien, c'est simplement égal à 4, n'est-ce pas ? L'expression est égale à 4. Moi, je l'imagine comme voici : à mesure qu'on se déplace sur la courbe de plus en plus proche de la valeur de l'expression, à quoi est-ce que l'expression est égale ? Dans ce cas, elle est égale à 4. Vous dîtes probablement, « Sal, ça a l'air inutile ce concept parce que j'aurais pu y substituer 2 facilement, et je sais que ça vaut» -- disons que ça c'est f(x), que si f(x) est égal à x² alors f(2) est égal à 4, et ça aurait été du gâteau. Bien, alors laissez-moi compliquer les choses, et j'espère que maintenant vous allez comprendre l'utilité du concept de limite. Laissez-moi définir-- laissez-moi poser que f(x) est égal à x² quand, si x n'est pas égal à deux, and disons que cela donne 3 quand x égale 2. Intéressant. Ainsi, c'est une légère variation de l'expression juste là. Alors ceci est notre nouveau f(x). Laissez-moi vous poser une question. Quelle est--si mon stylet fonctionne toujours-- la limite, j'ai utilisé les lettres cursives cette fois--quelle est la limite tel que x--c'est un x-- tel que x tend vers 2 dans f(x)? Ceci est un x Cela dit x tend vers 2. C,est comme ceci. OK, alors laissez-moi en faire le graphique maintenant. C'est également un graphique clair comme celui que j'ai dessiné avant. Laissez-moi dessiner. Alors maintenant c'est presque la même courbe que précédement, sauf une chose intéressante se produit quand x vaut 2 Juste comme ça. C'est une parabole du type y=x² Mais quand x vaut 2 alors f(x) vaut 4. On dessine un rond car la fonction n'est pas définie en x=2 Ici on a x = 2 C'est un 2 Et ici 4 C'est l'axe pour f(x) Et quand x vaut 2, on a dit que l'on avait f(x) qui valait 3. Donc en dessous du 4 et bien sur aligné avec la droite x=2 Cette courbe correspond à y=x² Tout est identique à la parabole classique jusqu'à x=2, où l'on a un trou dans la courbe. On parle de discontinuité. Nous avons un trou dans la courbe et après x=2 tout reprend normalement. Et maintenant, à cause du "trou" que se passe-t-il en x = 2? On sait que f(x)=f(2)=3 Donc la courbe se comporte comme y=x² mais au lieu de f(2)=4, on a f(2)=3, rien d'autre ne change Si on revient au problème de limite, quelle est la limite quand x tend vers 2 ? On va procéder de la même façon. Quelles valeurs vont-être prises quand x tend vers 2 par la gauche soit quand on a x<2, on sait que f(x) tend vers des valeurs proches de 4. OK? C'est simplement de la lecture de courbe : on se rapproche de 4 quand x tend vers 2 De la même façon du côté droit soit x>2 En suivant la courbe, on trouve alors que f(x) tend aussi vers 4. Donc comme tu peux voir, on tend vers f(x)=4 quand x tend vers 2 peu importe le côté où l'on se place. Donc la limite quand x tend vers 2 est aussi 4. Ce qui est intéressant car dans ce cas, la limite en x=2 est différente de f(2) On écrit normalement les 2 termes sur la même ligne Dans ce cas, la limite de la fonction est égale à l'évaluation de la fonction au point cherché. Mais ici non. Je pense que tu vois en quoi le concept de limite est différent de la simple évaluation de fonction en un point. En effet, si la fonction est discontinue, c'est-à-dire qu'elle a des "trous" ou des "sauts" à l'approche de la valeur alors la limite n'est pas égale à la fonction évaluée en ce point. Donc voilà pour l'introduction Je pense que c'est pour que tu saississes le concept de limite. On verra plus tard les définitions formelles avec Δ ε Le prochain module sera constitué de pleins de problèmes et d'exmples. Comme toujours, je pense que plus tu travailles une notion, plus tu la comprendras. Et quand on plongera dans les dérivées et les intégrales, tu comprendras mieux pourquoi on a créé les limites. Traducteur inconnu en partenariat avec the.amazing.mister.roca@gmail.com