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Le développement en série de Maclaurin de la fonction exponentielle

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va s'intéresser ensemble au développement en série de mc lorin une fonction très intéressante c'est la fonction f 2 x qui est égal à exponentielle de x cette fonction elle est assez particulière puisque toutes ces dérives et val la même chose donc la dérive et la première dérivé de la fonction la dérive est exponentielle le xc exponentielle de x etc la dérivée de la dérive et c'est à dire la dérivée seconde c'est aussi expérientiel 2x la dérive et troisième aussi la dérive et 4e aussi etc etc à chaque fois la dérive et vos la même chose que la fonction ce qui fait que lorsqu'on va vouloir développer en série de mc lorin c'est très simple puisque à chaque fois f20 ça va valoir une chose que les primes de 0,4 seconde 0 que la dérive et 3e 2 0 alors en l'occurrence ça vaut quoi et bien f20 c'est exponentiel 2 0 et donc tu sais que ça ça vaut 1 du coup la série le polynôme je te rappelle que la série de mc lorin c'est un polynôme associés à cette fonction exponentielle de x ça va être un plus x + x carrés sur deux factorielle de factorielle ses deux plus x cube sur trois factorielle 3 factorielle ces 3 x 2 x 1 + x 4 / 4 factorielle +65 / 5 factorielle +66 / 6 factorielle et donc plus je rajoute deux termes plus je suis en train de décrire précisément la fonction exponentielle de x et donc je mets des petits points de suspension pour dire que si je prenais tout les termes de la série est bien j'aurai exactement la fonction exponentielle de x on a donc trouvé le polynôme associée à la fonction exponentielle de x mais on peut aller plus loin on peut aller plus loin en revenant un petit peu sur ce qu'on a vu dans deux vidéos dans une autre vidéo on a vu ce que c'était que le développement de la série de makli la fonction cosin muzzix et de la fonction si news x est donc ce que tu peut remarquer c'est que si tu te rappelles dans la fonction kostine fixe dans le développement polynomiale on n'avait que les fonctions perd 2 x et dans la fonction sinus on n'a que les fonctions que les polinum que les mots nomme un père de x et donc ça c'était un peu particulier et ici ce qu'on voit dans la fonction exponentielle c'est qu'on a tous les maux nomme donc là c'est le mot nomme de degré zéro monôme 2° un mot nomme deux degrés de etc etc on les a tous on les a tous et ils sont tous avec des signes positifs tous tous tous donc à chaque fois c'est plus un +6 +62 +63 etc etc y'a que des plus mais néanmoins si par exemple je prends là je commence par regarder la la fonction caussinus x on voit qu'on commence par un et qu'ensuite on passe à 1 - x 2 sur 2 c'est à dire que dans la fonction côté musique ce que je vais mettre en rouge on a le le 1 on a le x 2 sur 2 avec un signe moins on a le x 4 sur 4 exactement comme ça on allègue x 6 sur 6 avec un signe - puis pour la fonction cygnus x la fonction cygnus x elle commence par x et ensuite il y à un mois devant loïc puissance 3 et ensuite on revient à un plus donc ça s'alternent après donc on commence par x qu'on retrouve ici ensuite on va avoir ce terme là mais avec un moins ensuite on va bien avoir ce terme là ensuite on va avoir le terme en expulsant 7 sur 7 avec un - et c'est donc on sent qu'il ya quelque chose qui a une relation là entre la fonction exponentielle de x et côté musique c'est 6 music ce alors qu'à priori elles sont très différentes exponentielle de x est une fonction qui est définie pour toutes les valeurs de x allant de moins l'infini à + l'infini et qui va donner des valeurs entre 0 et plus l'infini alors que caussinus x accepte tous les nombres entremont l'infini et plus infinie mais par contre renvoi des valeurs comprises entre -1 et donc a priori ces deux fonctions sont très différents de exponentielle du x et nous verrons dans une prochaine vidéo quelle est la connexion plus précise que ce que je viens de te montrer ici