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Visualiser le développement en série de Maclaurin de la fonction sinus

Transcription de la vidéo

on a vu ensemble qu'on pouvait utiliser les séries pour approximer les fonctions on a utilisé le développement de taylor de 6 8 6 pour montrer que si muzzix autour de zéro c'était x - x puissance 3 / factorielle 3 + x puis 105 sur factor elle 5 - x puissance est sûre factorielle cède plus six puissances 9 / factorielle 9 - et caetera et caetera et caetera et c'est donc plus on rajoute de termes que l'on est prêt si donc on a parlé de ça est-ce que je te propose dans cette vidéo c'est de s'en rendre compte directement par le graphique alors le développement en série de la fonction si muzzix si je développe ce que c'est que factorielle trois factures elles trois ces trois fois 2 donc ça fait 6 factorielle 5 c 5 x 4 x 3 x 2 et s'adonne 120 factorielle set ça donne 5040 et factorielle 9 362 1881 donc c'est laisser la même chose ces deux écritures sauf que ici on a développé les factoriens en dessous on voit un graphe en rouge la fonction en rouge là c'est la fonction cygnus x celle ci voilà et ensuite on voit plusieurs fonctions et à chaque fois il ya un certain nombre de points par exemple sur cette droite on voit qu'il ya un seul point ici alors qu'ici la sur cette courbe il ya un deux trois quatre cinq points le nombre de points en fait c'est le degré du polynôme qu'on est en train d'utiliser alors ça veut dire quoi ça veut dire que si par exemple si nous x je me contente de décrire par le premier terme c'est que j'oublie les autres et je dis qu en première approximation cygnus x cx autour de zéro mais ça veut dire que je vais dire que c'est exactement comme cette droite là il ya un point ça représente la fonction x donc forcément ce qu'on voit c'est que sur cette partie là bas si news x est plutôt bien décrit par la fonction x donc faudrait voir de plus près pour voir à quel point il ya des chaînes des différences mais de loin on voit que la droite passe par la courbe et la recouvre donc si elle la recouvre ça veut dire qu'elle est suffisamment proche de la courbe donc l'approximation est pas mauvaise dans cette zone maintenant on voit que en dehors par contre elle et pas très bonne alors on peut prendre un peu plus de termes par exemple on peut aller prendre x - x au cube sur trois factorielle c'est à dire prendre ces deux termes donc il faut aller chercher la courbe qui à trois petits points donc c'est celle là 1 2 3 donc celle-ci ce qu'on voit c'est donc à commence ici ensuite à des sens et à partir de là à peu près et commence à être sur la courbe ci musique ce jusque là donc ça c'est la courbe on la retrouve là avec les trois petits points donc c'est celle ci notre comme jusque-là essuie lacombe sinusite donc d'avoir pris deux termes plutôt qu'un seul ça nous permet d'être plus précis sur une plus grande étendue de la fonction sur une plus grande étendue on a une bonne approximation alors est ce que ça marche quand je continue si je prends encore un terme de plus juré par exemple jusqu'au terme en x puissance 5 donc je dis que si musique ça va être x - x occupe sur 6 + 6 puis 105 sur 120 cette fois donc il faut chercher la cowboy à cinq points là c'est celle ci l'a 1 2 3 4 celle-ci 2 3 4 et 5 cette courbe elle est là et à peu près par ici et commence à recouvrir la course signant six donc ça veut dire qu'elle l'a décrit bien à partir d'ici là elle et suez les dessus et quand est-ce qu'elle va la quitter et bien celle qui a cinq points c'est celle ci l'a mal à la quitter par ici voilà donc là encore l'intérêt c'est qu'on est on a une bonne approximation de la fonction si musique ce sur une plus grande étendue que quand j'utilisais les deux premiers terme c'est à dire c'était en rouge là on voit que j'ai un peu plus en bleu là j'ai dessiné l'extension sur laquelle on est meilleur que le coup d'avant alors si je prends encore un terme en plus si je prends encore un terme en plus je vais aller jusqu'au terme x puissance est alors si je prends un terme en plus je me retrouvais sur la sur la courbe avec 7 petits points kg et c'est celle ci donc là je suis là et à partir de quand je rejoins la courbe sinusoïdale à la fonction ces musiques là donc là encore je la rejoins avant la bleue ça veut dire qu'en utilisant le terme x puissance est eh bien j'ai temps encore une fois le domaine sur lequel j'ai une bonne approximation de la fonction cygnus x et donc où est ce que je vais en ressortir il est là le la courbe avec les sept petits points donc c'est à dire que j'en sors par là donc jusque là j'ai une bonne approximation de cygnus x et puis après ça commence à dévier si on veut avoir une meilleure approximation plus loin il faut prendre encore un ordre supérieur donc là je vais aller jusqu'à l'ordre x puissance 9 cette fois je vais dire que si news x cx - explique 3 sur 6 + 6 puissance 5 sur 120 etc jusqu'à 10 cuisse ans neuf dans ce cas-là j'utilise la courbe qui a neuf petits points c'est-à-dire la dernière qui me reste à dire celle ci et là je vois qu'elle arrive ici sur la course 6 donc ça veut dire que j'ai ce petit bout en plus et où est ce qu elle en ressort elle en ressort ici donc voilà donc j'ai bien agrandie le domaine sur lequel je suis en bonne approximation de la fonction 6 donc si je fais le bilan quand j'utilisais juste le premier terme la ixe xe s'était cette droite et on voyait qu'elle l'était une approximation de 6 music ce uniquement sur la petite zone la petite zone verte donc d'ici à ici voilà sur cette bande de valeur de x alors que maintenant si je vais jusqu'au 9e sur jusqu'au mot nomme 2° neuf donc si je prends les cinq premiers terme eh bien je vois que d'ici à ici j'ai une bonne approximation de la fonction sur tout ce domaine de x j'ai une bonne approximation la fonction 6 8 6 donc on voit qu'il ya eu un net progrès entre entreprendre un seul terme et en prendre 5 on voit aussi que les termes de puissance élevée en fait ils changent pas grand chose dans cette zone là et pourquoi mais parce que cette zone là c'est une zone où les valeurs de x son petit là on est autour de x égal zéro donc forcément autour de x égal zéro est bien là la puissance 9 de ce nombre qui est proche de zéro eh bien il est très très petit donc forcément il apporte une correction infime comparé à la valeur de x x comme il est proche de zéro il est déjà petit mais alors il puissance 9 il l'est encore plus et en plus on divise par un nombre énorme donc en fait autour de zéro tu comprends que ce terme il est minuscule ce qui fait qu'il va rien changer à la fonction quasiment par contre quand on s'éloigne de x égal zéro quand on va vers les grands thermes mais là on donne de l'importance enfin on donne de plus en plus d'importance aux puissances élevées de x et donc c'est pour ça que c'est au loin que les puissances élevées apporte des corrections notable à la fonction