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Visualiser le développement en série de Taylor en 3 de la fonction exponentielle

Une représentation graphique des premiers termes du développement en série de Taylor de la fonction exponentielle en 3. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va faire un développement série taylor de la fonction f 2 x est égal à exponentielle de x lors déjà à quoi il ressemble la fonction exponentielle au plein la fonction exponentielle je suis là sûrement déjà vu c'est une fonction qui croient extrêmement vite alors déjà tu dois savoir quand moins l'infini est envers 0 donc elle a une asymptote horizontale d'équations y égal zéro à moins l'infini en os x est égal à zéro donc là et alex des x 100 x égal zéro c'est exponentiel de zéro donc elle vaut 1 et après donc elle croit voilà comme ça et donc moi ce que je te propose là c'est d'évaluer l'approximation de la fonction exponentielle de x 100 x égal 3 voilà donc vite calculé son approximation à ce niveau là alors on veut faire la proxima sion 1 x égal 3 donc du coup puisque c'est pas en x égal 0 je ne peux pas utiliser le développement en série de mc lorin il faut que j'utilise directement la formule plus générale c'est à dire la série de taylor en x égal 3 x égal 3 ça veut dire que c est égal à 3 parce que le fameux c'est dans la formule c'est l'abscisse autour duquel on veut faire le développement on va avoir besoin les différentes dérives et de la fonction f donc ce qui est bien avec la fonction exponentielle x c'est que c'est aussi égal à ses dérivés la dérive est la première derrière et frime le xc aussi exponentielle dicks et puis toutes les autres dérivés de rang n donc du coup on va écrire quoi dans on va écrire que le polynôme c'est égal à f2 c est-à-dire af23 donc exponentielle 3 + f prime de ces langages prime ii x6 est exponentielle x en 3 ça fait encore à exponentielle de 3 x x -3 plus elle seconde de ces c'est à dire exponentielle de x en 3d encore exponentielle de trois facteurs de x - 3 au carré / de factorielle plus f la dérive est troisième de f ans et donc la dérive est troisième tu commences à avoir l'habitude la dérive est troisième c'est comme la fonction c'est exponentiel 2x et on c est bien ça à faire expansion de 3 facteurs de x - 4 le tout puissance 4 sur 4 factorielle là je m'aperçois non nagées oublié là je dis je je t'ai dit n'importe quoi ici on en est encore aux thermes x puissance 3 après le terme x car et enfin x - 3 ou caresser le terme x - trois là je crois que j'aime et j'ai tout mélanger cx -3 au cube sur trois factorielle le terme d'après c'est exponentiel 3 x x -3 puissance 4 sur 4 facteurs réels et cetera et cetera donc plus je rajoute deux termes plus je vais avoir une bonne approximation loin de x égal 3 et moins j'ai de termes plus c'est uniquement autour de x égal 3 que ce polinum est une bonne approximation de la fonction exponentielle luxe alors est-ce qu'on peut le voir graphiquement ça oui on peut le voir graphiquement donc ce polinum la key et l'approximation exponentielle de x il est écrit ici c'est la même chose sauf que les factorielle ont été développées trois factorielle c'est ainsi 6/4 factorielle ses 24 etc etc et ici en rouge et représenter la fonction exponentielle de x en rouge et en bleu différentes courbes à quoi correspondent pour savoir à quoi correspond il faut regarder le nombre de petits points qui sont dessinés sur la courbe donc là par exemple il ya qu un seul point là tu vois qu'un seul point ici sur cette courbe un point ça ça veut dire que c'est le peu qu tu n'as juste pris en compte le terme un hic ce n'est pas allé plus loin ça veut dire que le terme la rixe carré x au dessus mais tu sais tu les a pas pris en compte donc cette courbe c'est uniquement en prenant en compte les deux premiers terme du développement est donc là ce que tu vois c'est que autour d'eux donc le x égal 3 il est là là là autour de 3 ben oui c'est vrai que ce développement il n'est pas il est pas trop mal c'est pas une trop mauvaise approximations par contre tu t'aperçois qu'évidemment la fonction exponentielle de x quand on est ici on x égale 5 à peu près balle à 7,7 droite c'est absolument un mauvais pour décrire la fonction exponentielle du x donc comment faire eh bien il faut rajouter des termes si je vais jusqu'au terme x car et c'est à dire celui qui a deux petits points ça veut dire que j'ai pris en compte cette fois ci le terme en x carré voilà donc j'ai pris ces trois termes au final j'ai pris le terme constant le terme en x et le terme risque arrêt va je me retrouve sur 7 sur cette courbe là je le sais parce qu'il ya deux petits points et 2 petits points ça veut dire terme en x carré donc j'ai pris tous les termes jusqu'au terme en x vraie bombe à cette courbe la dé cet endroit là est décrit plutôt pas mal elle décrit plutôt bien la fonction exponentielle de x alors de l'autre côté elle en sort ou les deux petits points sont là donc elle est là la courbe donc de l'autre côté elle en sort l'a donc là sur tout cette sur toute cette partie cette fonction-là la décrit plutôt bien exponentielle du x alors si maintenant je continue à prendre de plus en plus de termes bien évidemment je vais décrire de mieux en mieux ma courbe donc si je prends le terme en plus au cube eh bien il faut que je cherche lui avec les 3 points donc cesser cette courbe là mais voilà tu l'as tu vois que des cet endroit là d ici elle va rejoindre la courbe exponentielle de x et elle va s'en séparer ici donc ça veut dire que là il ya tout un il ya toute une zone sur laquelle cette fonction décrit très bien exponentielle du x donc on peut dire que c'est une très bonne approximation etc si je prends le terme en plus en x puissance 4 je me retrouvais sur cette courbe là est donc là c'est dès ce point là que je vais décrire la fonction exponentielle de x et si je prends en plus la fonction x puissance 5 là je vais me retrouver sur la la courbe bleue là qui est quasiment collé à exponentielle de x dès le début est donc là on commence à avoir une très bonne approximation on en sort ici là tu vois delà de la courbe qui prend en compte tous les termes jusqu'à celui ci on en sort à ce niveau là donc ça veut dire que d'ici là on va dire un grosso modo ici on a une donc la sueur sur orange sur 7 sur cette partie des valeurs de x on a une très bonne approximation de la fonction exponentielle du x en allant jusqu'au terme x puissance 5 donc je mets x puis 150 euros entre guillemets parce que on a x - trois ex puissance 5 mais si tu développes x + -3 puis 105 situe le développent tu vas avoir un terme en x puissance c'est pour ça que j'appelle ça la leterme en x puissance 5 il est de la puissance 5 2 x donc si tu prends tous ces termes tu as une très bonne approximation de exponentielle de x sur une bonne gamme et pas uniquement autour de x égal 0 alors que six parcs par contre tu te contentes de prendre les premiers terme du développement en série de taylor de la fonction exponentielle de x bats tu seras dans une approximation plutôt bonne uniquement très très proche de x égal 3 donc là encore grâce à cet assaut graphique on voit que plus on prend de termes plus on a une bonne approximation de la fonction