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Décomposer en éléments simples pour trouver la somme d'une série télescopique

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo l'objectif ça va être de trouver la valeur le résultat de cette série donc somme de haine est égal à 2 jusqu'à l'infini de moins de / n plus un facteur de haine +2 alors ce qui t'a peut-être paru étrange c'est le nom de le nom de cette vidéo où je parle de séries télescopique pour le moment on ne voit pas en quoi les télescopiques ça va nous apparaître bientôt sous les yeux et je peux je te l'expliquer à ce moment là donc cette somme là pour commencer on peut par exemple essayer de voir si on la décompose en un peu on voit quelque chose se dégager donc la décomposer ça veut dire que je vais écrire les premiers terme pour voir si on observe quelque chose donc le premier terme c'est quand rennes est égal à 2 donc ça fait moins de diviser par deux + 1 3 fois de plus de 4 ensuite le terme d'après - 2 / donc le terme d'après ces camps rien est égal à 3 ça fait 3 + 1 4 x 3 +25 terme d'après ce serait moins 2 x 5 x 6 - et cetera et cetera et cetera alors est ce que tu peux tout de suite remarqué c'est que au dénominateur plus ça va plus dénominateur est grand et en particulier on sait que quand pour les derniers termes on va faire tendre la valeur du bas vers l'infini le terme lui va tendre vers zéro donc on peut commencer à se dire que même s'il ya une infinité de terme puisque les derniers termes sont très très proches de la valeur zéro on espère que la somme de tous ces termes est un nombre fini c'est pas une série divergentes et donc on va continuer pour essayer de calculer le résultat puisque là on l'a toujours pas pour calculer le résultat on va des composés cette série ou plus particulièrement on va s'attaquer à la partie au terme général de la série et on va essayer de le décomposer en la somme de fractions simple alors qu'est ce que c'est des fractions simple mais assez des réactions plus simple que ça c'est à dire qu'ici au dénominateur le degré ici c'est une fois n en carré ici si on développe et on aurait un polynôme d'ordre deux antennes dans notre fraction dans les fractions qu'on va obtenir nous ce qu'on veut c'est des polynômes plus simple c'est à dire des polynômes du premier degré donc cette fraction - 2 / n + 1 n + 2 on va la décomposer dire qu'elle est égale à la somme de deux fractions simple et là les dénominateurs sont tout trouvés 1 cm + 1 et n + 2 pourquoi ils sont tout trouvés est ce parce que dans notre dans notre tête ce qu'on peut se dire c'est que forcément cette fraction là quand je verrai essayer de mettre au dénominateur commun dénominateur commun je vais être ça va être plus un fois une +2 d'accord celui-ci quoi donc dans l'autre sens évidemment quand je décompose cette somme ça va donner une somme avec un dominateur qui voit une +1 une somme qui vaut un dénominateur avec en plus 2 par contre qu'est ce qui lie à eux numérateur pour le moment j'en sais rien donc je vais le noter a et b et le but là ça va être de trouver a et b pour arriver à avoir cette égalité est à connaître a et b donc là je vais faire une mise au dénominateur commun de cette fraction donc ça à faire à facteur de haine + 2 + b facteur de haine +1 le tout divisé par haine plus un facteur de haine +2 maintenant je vais m en facteur n 1 est facteur de a + b et il reste quoi des deux a plus b le tout toujours / n plus un facteur de haine +2 alors maintenant on voudrait connaître a et b est ce qu'on peut ah oui par identification on remarque que cette partie là de l'infraction doit être égale à celle là d'accord le dénominateur lui bah ils sont déjà égaux donc on n'y touche pas mais les numérateur si on veut que l'égalité et bien soit vrai les numérateur ce douar et égaux alors pour l'instant là on est un peu embêté parce que là il ya des la ja a et b mais là il ya un terreau n'en ai ni s'il n'y a pas de terreau mans rennes n'y a pas de problème faut pas que ça nous gêne ça s'il n'y a pas de terreau mans rennes c'est parce que on peut réécrire -2 comme étant moins 2 + 0 x n voilà c'est pareil donc maintenant on peut vraiment se lancer dans l'identification on voit que le terme en haine doit valoir 0 donc a + b est égal à zéro et le reste doit être égal c'est à dire 2 a + b - par dont deux à plus d doit être égale à moins 2 voilà donc maintenant à nous de jouer il faut qu'on résolve cette équation donc ce système d'équations tarn on a deux équations deux inconnus donc a priori on va pouvoir trouver un résultat on première ligne je peux écrire que a est égal à moins d ensuite deuxième ligne je vais remplacer à part - des donc desalle devient moins de baies et ensuite je recopie plus b est égal à moins 2 ce système d'équations est égal à mais toujours à est égal à moins d s'agit touche pas pour l'instant ensuite moins de bplus b ça fait moins b est égal à moins 2 je vais continuer sur une autre page et je veux dire que ce système d'équations est équivalent à un nouveau système donc je vais commencer par le bal à moimbé égales - 2 c'est la même chose que beghal deux donc c'est bon on a trouvé b et puisque ea est égal à moins de baies et bien à est égal à moins 2 donc voilà donc on a trouvé les valeurs de a et b pour que l'égalité fonctionne donc maintenant on va pouvoir remplacer moins de suresnes plus en plus de part sa est donc en particulier on va voir que dans ce cas là on va pouvoir réussir à calculer la somme donc je vais là je vais la recopier somme de haine est égal à 2 jusqu'à l'infini alors normalement c'est l'infini mais nous on va mettre grant haine tu vas voir pourquoi somme de quoi de ça et ça on a vu que c'était la même chose que cette expression là en remplaçant à part - 2 et b par deux donc à / n + 1 - 2 / n + 1 + b / n + 2 + b c'est-à-dire 2 / m plus de maintenant je vais écrire ce que valent les premiers terme alors quand petit n est égal à 2 ça fait moins 2 / 3 + 2 / de plus de 4 donc voilà ça c'était pour n est égal à 2 ensuite quand elle est égale à 3 ça fait moins 2 / 3 +14 + 2 / 3 + 2 5 et l'a déjà on commence à voir quelque chose on voit que le premier terme ça nul avec le précédent bon je continue donc ça c'était pour elle est égale à 3 je continue pour elle est égale à 4 que se passe-t-il pour n est égal à 4 eh bien on va avoir moins de diviser par 4 +15 plus de diviser par 4 et 2 6 plus et cetera et cetera quel va être le dernier terme le moins d'eau / grand peine plus en plus 2 / grant n + 2 et donc là on peut qu'on peut comprendre pourquoi elle s'appelle série télescopique donc ça c'était pour une égale 4 elle s'appelle série télescopique tout simplement parce que quand on additionne les thermes au fur et à mesure on s'aperçoit qui s'annulent au fur et à mesure donc là le 2/4 ça nul avec le moins de car le 2 5e ça nul avec le moins de 5e le 2/6 ça nul avec le suivant et caetera et le moins deux donc à chaque fois c'est le dernier terme qui s'annulent avec le premier terme donc là le premier terme ça c'est pour petit n est égal à grand peine le premier terme c'est annulé avec le précédent qu'on n'a pas écrit là le dernier terme ça nul avec le suivant ah oui mais n'y a pas de suivre donc le dernier terme du comice annule pas donc finalement qu'est ce qui nous reste mais il n'aurait simplement le premier terme et le dernier terme tous les autres se sont annulés voilà pourquoi on appelle ça une série télescopique parce qu'ils se sont tous annulés au fur et à mesure en faisant l'addition alors maintenant est-ce qu'on est content avec ça on est très contents mais on n'a pas encore le résultat puisque qu'est ce qu'on nous demande nous on nous demande ce qui se passe quand en haut on à l'infini et non pas grand peine donc pour avoir l'infini ce qu'on va tout simplement écrire c'est que on va prendre cette série et on va faire tendre grand ten vers l'infini donc je vais prendre la limite quand grands peintres vers l'infini de la série convient de calcul et voilà et donc en faisant ça c'est bien la même chose que de calculer tous les termes pourraient n'être égale à 2 jusqu'à l'infini puisque regarde je vais remplacer entre guillemets trentaine par l'infini je vais faire tendre qu'antenne vers l'infini et bien ça c'est la même chose que la limite donc la part dans ce we camp grand ten temps vers l'infini de cette somme et cette somme on a vu que ça se réduisait au premier terme - 2/3 plus le dernier + 2 / grant n + 2 et ça qu'est ce que ça vaut bombe à la limite comme grant end en vers l'infini de moins deux tiers de moins deux tiers c'est une constante donc ça vaut moins de tirs ça dépend pas grand peine par contre ce terme là au dénominateur et la graine au dénominateur donc quand grand n va tendre vers l'infini et bien cette fraction elle elle va tendre vers zéro donc au final il ne reste plus que moins deux tiers voilà on vient de trouver le résultat la somme la limite quand grands thèmes tend vers l'infini de la somme de petites n est égal à 2 jusqu'à grands thèmes d'anvers moins deux tiers et puisque c'est la même chose que cette série là mais on a aussi trouvé le résultat de cette série là et ça vaut donc moins deux tiers