Approximation d'une fonction grâce aux séries de Taylor

jusqu'à présent dans la vidéo on a vu comment faire une approximation de cette fonction f en utilisant des polynômes et puis surtout ce qu'on a vu c'est au tour de x égal zéro sert qu'à chaque fois on est parti de la connaissance de ce qui se passait en rixe égal 0 en particulier on a dit qu'on connaissait f0 qu'on connaissait f prime 2 0 la dérivée seconde 2 0 etc et toutes les autres dérivés aussi alors on a vu du coût que une fonction on pouvait la proximité par des polynômes alors le polynôme depuis le plus simple c'est quand il est constitué dès que d'un seul terme qui est une constante donc une première constante donc là on a vu que ça ça donnait juste une une droite voilà horizontale donc c'est pas c'est pas une bonne approximation évidemment de la fonction f mais en tout cas en lice égal 0 c'est une bonne approximation parce qu'on fait attention que ce pauline sommes là en question est bien en 0 il passe par la fonction qu'on vérifie que les deux héros est égal à f/2 0 donc ça ça nous assure qu' au moins 1 x égal zéro le polynôme est parfaitement égale à la fonction après si jamais on va plus loin donc si jamais on va par exemple dire que on rajoute un terme au x avec une autre constante que je notais k2 mais là ça devient une droite est ce qu'on va ce qu'on va dire donc celle ci est ce qu'on va dire c'est que non seulement elle passe par zéro mais en plus la dérivée du pôle innovant 0 est égale à la dérive et de la fonction comme ça on s'assure que autour de zéro elle a la même pente que la fonction elle même donc ça ça va nous permettre d'avoir une approximation même un tout petit peu autour du point x égal 0 et puis donc on a vu quand on en rajoutant les différents termes du polynôme derrière on avait de plus en plus de précision autour de zéro et qu'on avait de plus en plus de précision même en s'éloignant de x égal zéro et on a aussi dit que si jamais on utilisait une infinité de termes du polinum pour décrire la fonction f 2 x eh bien on aurait exactement la fonction f2s on aurait une parfaite description de la fonction fdx une parfaite approximations alors ce que je te propose dans cette vidéo c'est d'aller un peu plus loin ce qu'on a vu pour l'instant c'est ce qu'on appelle le développement en série de mc lorin ou développement en série de taylor autour de zéro mais maintenant je veux généralisée et je veux te montrer comment approximer une fonction avec la série de taylor mais en importe quel point par exemple en un point d'apsys c c'est à dire que tout ce que je vais connaître sur la fonction maintenant c'est pas elle faisait roef prime 0 et les dérivés dépend 0 mais c'est f 2 cm primes de ses f seconde de ces seconds de c'est la dérive et 3e en c etc etc alors qu'est ce qui va changer du coup bas puisque je suis ans et le polynôme le plus simple que je puisse trouver je vais refaire un peu le même travail qu'on a est fait pour la série de mc lorin le polynôme le plus simple que je puisse trouver c'est une constante mais ce qui va valoir ce qui va devoir vérifier séquences et le polynôme la valeur du polynôme est égal à la valeur la fonction comme ça au moins je suis sûr qu'en c'est pile poil ans et le polynôme est parfaitement égale à la fonction alors le polynôme le plus simple hommes donc si c'est un polynôme c'est une fonction de x voilà polinum de x c'est une constante cette constante est égal à f2 c évidemment si j'ai ça si j'ai que le polynôme est égal à f2 c en particulier ans et il est égal à f2 c'est donc la condition est bien valide maintenant je vais améliorer d'un cran le système donc je vais aller voir un cran plus loin donc le polynôme cette fois ci ça va être de la forme a + b x c'est-à-dire une constante plus bx alors qu'est-ce qu'on veut qu'ils vérifient ce polinum de plus on va vouloir vérifier un peu comme là on avait voulu que p prime 2 euros sur les galas et ce prime 2 0 cette fois ci on veut que p prime de ces soirées galas et sprint de ces alors ça change quoi tu vas me dire mais ça change que je ne peux pas écrire comme l'autre fois directement f primes de ses x x par contre je vais te proposer un autre polinum c'est celui ci pde et cé gala donc f2c le terme d' avant + f primes de ses x x - c'est alors qu'est ce que ça change de matrix - c et non pas juste x mais ça change que tout va bien marcher ça veut dire quoi tout va bien marché c'est à dire qui je veux que le ppri une de ces galettes prime ne sais et je vais aussi que pdc est égale à 20 soit égal à f2 c est ce que ce polinum réunit ces deux conditions valide ces deux conditions alors est-ce que pepsi est égal à f2 c mais je vais vérifier pdc est égal à f2 c + f primes de ses x sait moins c est là ça fait zéro imagine que j'ai pas mis moins ces six là et j'avais juste me x majoré du coût calculé que ptc est égal à f2 c + f prime de ces fois c est évidemment du coup ça c'était plus bon c'est pour ça que j'ai été obligé de mettre mon - c c'est pour conserver cette égalité que l'on veut absolument on veut que le polynôme ans et il passe par la fonction c'est normal donc du coup ça là ça fait plus 0 quand on est bien x - c est donc on a bien que ptc est égal à f2 c'est donc celle ci et les valider maintenant est ce que paie prime de c est égal à f primes de ses bas pour cela je vais d'abord calculé paix primes de x donc une constante s'adhérer laissé 0 f prim x x - c'est bien la dérive et 2x - cc 1 et donc ça fait exprès de ne sait donc les primes de x est égal à f prime ne s'est en particulier on a donc que p prime du cdt gala esprits ce qui est exactement la condition qu'on voulait vérifier conclusion ce polinum vérifie à la fois à cette condition et cette condition donc il est parfait il est parfait en tout cas pour un polynôme qui a que deux termes évidemment nous ce qu'on veut c'est rajouter tous les autres termes derrière mais en fait ce qu'on va faire parce que si tu cites a compris un peu la logique ce qui va changer c'est que au lieu d'avoir x on va avoir 6 non c'est tout simplement donc on va reprendre les résultats qu'on avait pour la le développement en série de mc lorin on va l'appliquer pour les le développement en série de tyler donc le polynôme est égal à f2 c + f primes de ses x x - c'est plus f secondes de c est ce que tu te rappelles ce qu'il y avait pour les pour les séries de mc lorin pour les séries de mc lorin c'était f secondes de zéro mais bon ici c de c et puis ensuite on avait x au carré sur factorielle de bas ici on va avoir 6 mois c'est au carré sur factorielle de donc à mon avis quel va être le terme d'après ça va être la dérive et troisième de f ans et x x - c'est au cube sur trois factorielle plus etc etc etc donc par rapport à la série de mc lorin ce qui change en fait tu sais que tu vas avoir un x - c'est à la place du x donc du coup tu vas avoir x moins six mois c'est au carré x mois ceo cubique semenciers puissance 4 etc etc et ça malheureusement ça va introduire dans les calculs des complications puisque c'est beaucoup plus facile de qu'elle décrit rixe puissance 3 que d'écrire x - 1/2 au cube si je développe x - 1/2 occupe ça va me faire plusieurs terme alors que x au cube ce n'est qu'un seul terme donc d'un point de vue pratique évidemment c'est beaucoup plus difficile à utiliser la série de taylor et ça va engendrer beaucoup plus de calculs par contre pour retenir cette formule c'est vraiment pas compliqué puisque c'est exactement la même que celle de mc lorin sauf que au lieu d'avoir juste x tu as x - c est au lieu d'évaluer la fonction à chaque fois en 0 mais pour la série taylor elle est évaluée en cf2 cf prime de cf seconde de ces et caetera et caetera et on va voir comment marchent les approximations dans d'autres vidéos