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A la découverte des séries de Maclaurin et de Taylor

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va voir comment approximer une fonction n'importe quelle fonction en utilisant des fonctions polynomiale alors il faut que je te précise quelque chose d'autre c'est que pour arriver à faire ceci on va poser comme hypothèse qu'on connaît tout sur la fonction que l'on souhaite approximer en x égal zéro c'est à dire qu'on connaît à la fois la valeur de la fonction x égal zéro c'est-à-dire f20 mais on connaît aussi sa dérive et donc exprime 2 0 on connaît sa dérivée seconde exprime prime 2 0 on connaît sa dérive est troisième avec primes prime prime 2 0 et toutes les autres donc ça c'est hyper important donc cette fonction ça peut être par exemple celle que je te représente ici en bleu et donc on connaît tout sur ce point là alors donc on veut utiliser des fonctions polynomiale donc les fonctions polynomiale je vais les écrire p 2 x et donc tu sais que c'est quelque chose du genre à plus d x + cx carré plus etc etc d'accord donc la fonction polynomiale la plus simple qu'on peut utiliser ces celles d'ordre zéro c'est à dire qu'on s'arrête ap 2 x égale une constante donc à l'ordre 0 notre polinum qui est censé coller à la fonction f c'est à dire qui est censé être une bonne approximation notre polinum est juste une constante évidemment comme on connaît tout sur le point zéro ce qu'on va vouloir puisque c'est une constante c'est qu'ils passent par le point en lice égal zéro c'est à dire qu'ils passent par f 2 0 donc on veut finalement que p20 c'est à dire notre polinum à 0 soit égal à f10 et puisque le polynôme de degré zéro c'est uniquement une constante mais cette constance ça va être avec 2 0 d'accord si p 2 x est égal à f/2 0 on est tous d'accord que p20 vaut bien f0 donc on a vérifié ce qu'on voulait donc à quoi va ressembler ce polinum 2-0 juste une constante donc ça va être une droite horizontale qui passe par f 2 0 alors évidemment on n'est pas super content c'est une très mauvaise approximations de notre fonction f elle est très mauvaise pourquoi parce qu'on s'est contenté de prendre qu'un seul terme du pôle nord donc maintenant on va en rajouter un pour atterrir sur un polynôme 2° un à quoi il va ressembler ce polinum ça on va le voir tout de suite mais d'abord qu'est ce qu'on va vouloir qu'ils respectent comme règle ce polinum bas on va vouloir qu'il respecte la règle précédente c'est à dire que en x égal 0 il va y est de zéro c'est à dire qu'ils passent par ce point là mais en plus de ça on va vouloir que en os x est égal à zéro sa dérivée soit la même que celle de la fonction f10 donc paix prime 2 0 est égal à f prime 2 0 alors quelle tête à un polynôme qui respecte ces deux conditions et bien c'est très simple tu vas voir p 2 x est égal à f/2 0 c'est-à-dire le polynôme on vient de voir juste avant + f prime de 0 x x alors petit un ace qui respecte bien toujours cette condition ça je le vérifie tout de suite p20 est égal à quoi à f/2 0 + f prime 0 x 0 c'est à dire + 0 donc oui je peux effacer le plus p20 est bien égale à f/2 0 pas de problème est ce que maintenant on a bien fait prime 2 0 qui est égal à exprime 2 0 alors d'abord je vais calculer les primes de x la dérive et de paix la dérivée d'une constante c'est zéro + f prime de 0 fois la dérive et 2x qui vaut un donc f prime 2 06 p prime de d&p primes de x est égal à exprime 2 0 tu es d'accord paix prime de 0 vos f prime 2 0 bon ben voilà c'est parfait des primes de zéro et ghallef prime 2 0 c'est exactement la condition qu'on s'était fixés cette fois ci à quoi va ressembler notre polinum c'est un polynôme de type a + b x c'est à dire c'est une droite et va à la fois passer par le point et en même temps qu'est ce que ça veut dire ça a coupé prime 2 0 est égal à effry menés 0 ça veut dire que la pente du polinum ici c'est une droite donc la pente de la droite est égale à la pente de notre fonction en 0 donc en fait ça va être la tangente donc voilà ça c'est notre polinum 2° 1 celui ci c'était celui de 2,0 alors le polynôme 2° un c'est pas un nom plus encore génial pour faire une bonne approximation de la fonction f donc il faut continuer alors si je continue ça veut dire que je vais aller voir ce qui se passe au degré 2 je vais écrire sur une page d'après polinum 2° 2 alors qu'est ce qu'on veut pour ce polinum 2° deux dans la continuité on va vouloir que la dérivée seconde de notre polinum la dérivée seconde du polinum en zéro soit égal à la dérivée seconde de la fonction en 0 on va vouloir ça comment l'obtenir comment écrire le polynôme ben je reprends déjà les termes du précédent polinum f20 plus f prime 2 0 x x et qu'est ce que je vais rajouter eh bien je vais rajouter un demi fois f secondes de zéro x x au carré pourquoi j'ai mission 1/2 tu vas le voir tout de suite alors déjà est-ce que ce polinum respecte les deux précédentes chose que l'on s'était fixé c'est-à-dire p20 agalev 2 0 et des primes 0 et aleph prime 2 0 oui il le vérifie je ne le montre pas ce que je peux juste faire remarquer que ces eaux dans le cas précédent pour le polynôme 2° 1 on avait bien retrouvé que p20 est égal à f/2 0 et on avait utilisé la même le même début c'est à dire p 2 x est égal avec 2 0 plus quelque chose exactement comme le terme précédent donc là c'est pareil on a repris le même début que le polynôme précédent c'est-à-dire f20 plus f prime 2 0x d'accord donc oui il va respecter ces deux conditions encore une fois tu peut le vérifier chez toi si tu veux maintenant est-ce que par contre on respecte la nouvelle condition pour cela il faut que je me lance dans le calcul de la dérivée seconde de paix donc avant la dérivée seconde l'avait rêvé première des primes de x dérivés de f/2 0 c'est une constante savons zéro + d'ériger de f prime de 0 x x la dérive et de x ça va valoir donc ça fait exprime 10 ont ensuite dérivé tout ça donc le 1/2 f primes prime 2 0 ça c'est une constante x x caressa dérivés ces 2 x donc ça va faire un demi fois f secondes de zéro x 2 x et là tu vois pourquoi j'ai émis sur un demi j'avais misé sur un demi parce que 1,2 est apparue par la dérive et et ça va nous permettre de simplifier de sur deux est égale 1 donc il va nous rester plus que quoi et bien un effet prime 2 0 + f secondes de zéro x x du coup quand je vers dérivés pour avoir la dérivée seconde ça ça va disparaître c'est un terme constants dérivé du xv au 1 il me reste plus que 9 secondes de zéro donc puisque la dérivée seconde du pôle innovant x est égal à ça en particulier la dérivée seconde de paix en 0 voudra bien évidemment f secondes environ pas de problème donc c'est bon chacun peut mettre une petite une petite coche oui on a bien respecté la dérivée seconde du podium en 0 est égale à la dérivée seconde de la fonction que l'on cherche à approximer en 0 cette fois ci à quoi va ressembler la fonction à un polynôme du deuxième degré c'est-à-dire une parabole donc très certainement que la cette fois ci ça va ressembler à ça une parabole qui passe par le point qui a la même dérive et première est la même dérivée seconde donc là on commence à être vraiment pas mal en termes d'approximations autour de x égal 0 par contre pour des grandes valeurs de xcom par exemple ici là on est très loin du compte notre polinum il ya encore un une très mauvaise approximations de la fonction donc pour aller plus loin tu comprends ce qu'il faut faire il faut écrire un polynôme 2° encore supérieur donc je vais par exemple décrire celui le troisième pour le polynôme de degré 3 ce qu'on va valoir c'est que la dérive y est troisième de paix 1 2 3 en zéro soit égal à la dérive et 3e 1 2 3 de la fonction en 0 comment écrire le polynôme donc peut-être que là tu commences à avoir une intuition sur les termes qui va falloir rajouter donc j'ai déjà je reprends ce que j'avais écrit sur le podium précédent f20 plus f prime de 0 x x + 1/2 de f prime primes prime 2 0 c'est à dire un dérivé de troisième euh pardon j'en ai fait un trou c'est à dire la dérivée seconde 2 0 x x 2 est donc là qu'est ce qu'on va mettre pour le nouveau terme bon bah déjà on sait que c'est du mix puissance 3 ensuite les prêts facteurs cette fois ci ça va être f la dérive est troisième de f donc exprime primes prime en 0 il va y avoir de nouveau le 1/2 et en plus il va y avoir quoi mais il va y avoir un un tiers un tiers qui va nous permettre d'annuler en quelque sorte le 3 qui va tomber lorsqu'on va faire les dérivés tout à l'heure pour refaire ce calcul qu'on va dériver ex-puissance 3 ça va nous faire du 3 x 2 et bien le 3 x2 boom le 3 va s'annuler avec celui ci mais il nous restera du x puissance 2 le x puissance 2 qu'on va dériver ça à faire du 2x et le 2 à s'annuler avec son ennemi là je vais te le montrer tout de suite alors ce qu'on veut c'est vérifié que ça respecte bien ça donc du coup je vais chercher la dérive et troisième de paie donc déjà la dérive des premières la dérive et première sekouh bah c'est la dérive et 2 0 ça c'est une constante ça fait zéro + efrim de zéro x x ça ça va faire f prime 2 0 plus la dérive et ii x2 safer 2x le 2 va simplifier avec celui ci donc ça va faire f secondes de zéro x xrf secondes de zéro freeks plus quoi la dérive et 2x puissance 3 ça à faire 3 x 2 le 3 va simplifier avec ce 3 donc il va rester un demi de f primes prime prime de 0 x x 2 1/2 de la dérive et 3e en zéro x x 2 est donc là tu peux au passage reconnaître que cette forme là avec du 1/2 ici c'est la même chose que ceux pauline sommes là en terme de forme sauf qu'ici bien sûr il ya écrit la dérive et 3e tout à l'heure c'était la dérivée seconde maintenant je dérive encore une fois la dérivée seconde de paix ça ça va disparaître la dérive et de ça ça va juste être la dérivée seconde 1-0 plus quoi bein la dérive et x2 ça va donner 2 x le 2 va simplifier avec celui-ci va rester seulement x avec la dérive et 3e nous irons le but c'est d'arriver à la dérive et troisième de paix donc je dois dérivés encore une fois cette fois ci ça ce terme là est une constante ça va faire 0 lorsqu'on dérives et il nous reste plus gentiment que x qui n'a aucun pré facteurs devant lui et c'était bien l'intérêt de m à la fois un demi et un tiers ici il n'a plus aucun pré facteurs devant lui donc la dérive et ça va tout simplement être f prime primes prime 1 0 c'est à dire la dérive est troisième deux enfants 0 est donc là évidemment on est très contents puisque ça ça implique en particulier que la dérive et troisième de paix en 0 est bien égale à la dérive et troisième de f 1 0 et donc ça c'est exactement ce qu'on voulait donc là à quoi va ressembler le polinum mais il est encore mieux que le précédent terme d'approximations donc il va très certainement ressemblé à quelque chose comme ça donc il va démarrer comme ça puis va certainement remonter derrière quelque chose comme ça évidemment il n'est pas encore parfait ici un clairement il n'est pas du tout sur la courbe bleue mais pas rond dans cette zone là il commence à être très très bon alors maintenant pour finir ce serait quoi l'idéal bel idéal en fait ce serait d'avoir un polynôme infinie c'est à dire avec tous les termes possible comment est ce que je peux écrire ça m'aidait à ce que je peux le décrire c'est ce que ce serait qu'un polinum n'ont pas de degré 0 1 2 3 ou 4 ou 5 mai 2 degrés n qu'est-ce que ce serait qu'un pauline 2° n est bien déjà il respecterait le fait que la dérive et énième du polinum en 0 est égale à la dérive et nm2 la fonction en 0 il respecterait aussi évidemment toutes les autres dérivés plus petit maintenant à quoi il ressemblerait ce polinum ce serait quoi va ce serait le même début que ceux d'avant d'accord c'est à dire par exemple celui ci s 2 0 + f prime de 0 x x + 1/2 de f seconde je vais l'écrire f20 + f prime de 0 x x + f secondes de zéro x 1/2 2 x 2 plus f primes prime prime c'est à dire à dériver troisième de f10 fois 1/2 fois un tiers fois x3 et là tu vois il ya comme un là comme un motif qui se répète c'est à dire que là on avait un demi et c'est fx carré là on a un demi fois un tiers et ses x cube est en fait pour le terme pour le n ya ni terme puisque là on va aller jusqu'au de gréhaigne c'est à dire x puissant scène pour le énième terne en fait c'est ce serait un demi fois un tiers fois un quart fois et c'est jusqu'à 1 sur rennes fois la dérive et énième de f10 d'accord et çà çà çà çà plus réécrire en fait ce terme là un de nuit faut un tiers faut un carrefour à aix était à fond à suresnes ça peut se réécrire comment ça s'appelle factorielle n 1 x 1 / 2 x 3 x 4 x 5 x etc jusqu'à n déjà je peux te le réécrire à l'envers c'est à dire n x men - 1 puisqu'il ya tous les thermiciens avant n x n moins deux fois et cetera jusqu'au premier qui est même ainsi on veut l'écrire 1 x 2 x 1 ça ça s'appelle un / n factorielle sa cn factorielle donc ça c'est juste une simplification d'écriture ou de décrire tout ce gros bloc je peux le remplacer par un / n factorielle donc ce polynôme là il porte un nom et il s'appelle l7 ce plénum s'appelle la série de mac l'oim donc cette série de mc lorin permet comme on l'a vu d'approximations fonction ici la fonction f en écrivant de plus en plus de termes dans le polynôme tu as vu aussi que si on se contente d'écrire les premiers terme par exemple les trois premiers un polynôme mort de deux et bien on va être pas trop mauvais autour de x égal zéro mais alors par contre on va être extrêmement mauvais très loin donc si on utilise seulement les premiers termes notre approximations sera plutôt correct autour de x est égal à zéro mais pas des autres points donc tu peux garder ça à l'esprit je t'ai pas démontré que en utilisant une infinité de termes cela permettait de coller parfaitement à la fonction mais on commence à le deviner en regardant à quoi elle ressemble tu vois que plus j'ai augmenté le nombre de termes de mon polinum plus je commence à avoir des fonctions qui colle à la fonction bleus je ne le démontre pas ici mais on peut démontrer que avec une infinité terme dans notre polinum on serait exactement sur la fonction bleues c'est à dire qu'il y aurait pas de différence entre notre polinum et la fonction que l'on cherche approximer et ce qui est fort dans cette histoire et il faut absolument que tu t'en rendre compte c'est que j'ai réussi à faire une approximation de la fonction partout en ne connaissant qu'un seul point c'est à dire que j'ai aucune idée de au départ en tout cas j'ai aucune idée de la valeur de la fonction en ce point là tout ce que je sais c'est ce qui se passe au point en xc grial les héros c'est à dire je connais f20 exprime 2-0 à derry résoudre on la dirait 3e et toutes les autres dérivés donc ça tu vois c'est quand même hyper fort on va voir dans les autres vidéos comment utiliser cette série de mac laurine pour faire des approximations de fonctions usuelles