La dérivée d'une fonction composée

L'explication de la formule.

Introduction

Si uu et vv sont deux fonctions, par exemple telles que u(x)=x2u(x) = x^2 et v(x)=sin(x)v(x) = \sin(x), on sait calculer la dérivée de leur somme :
Formule :(u(x)+v(x))=u(x)+v(x)\dfrac{}{}(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)
Exemple :(x2+sin(x))=2x+cos(x)\dfrac{}{} (x^2 + \sin(x))' = 2x + \cos(x)
et de leur produit :
Formule :(u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x)\dfrac{}{}(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Exemple :(x2×sin(x))=2xsin(x)+x2×cos(x)\dfrac{}{} (x^2 \times \sin(x))' = 2x \sin(x) + x^2\times\cos(x)
La dérivée de la composée uu suivie de ff est :
Formule :(f(u(x))=f(u(x))u(x)\blueE{\dfrac{}{}(f(u(x))' = f'(u(x))u'(x)}
Exemple :[(sinx)2]=2sinxcosx\blueE{\dfrac{}{} [(\sin x)^2]' = 2\sin x \cos x}

Pour expliquer cette formule, on utilise un artifice

Attention : Pour les besoins de la cause et pour présenter cet artifice, on obligé d'utiliser la notation d/dxd/dx qui signifie "dérivée par rapport à x".
Au lieu d'écrire (x2)=2x(x^2)'=2x, on écrit :
ddx(x2)=2x\dfrac{d}{dx} (x^2) = 2x
Si la variable était aa, on écrirait :
dda(a2)=2a\dfrac{d}{d\blueD{a}}(\blueD{a}^2) = 2\blueD{a}
L'artifice est de remplacer xx par une fonction. On obtient, par exemple :
dd(sin(x))(sin(x))2=2sin(x)\dfrac{d}{d(\blueD{\sin(x)})} (\blueD{\sin(x)})^2 = 2\blueD{\sin(x)}
dd(sin(x))\dfrac{d}{d(\sin(x))} ne veut rien dire ! Mais si on le multiplie par d(sin(x))dx\dfrac{d(\sin(x))}{dx} (qui signifie la dérivée de sin x par rapport à xx), alors on peut simplifier par d(sin(x))d(\sin(x)) et on obtient :
d(sin(x))2d(sin(x))×d(sin(x))dx=ddx(sin(x))2 \dfrac{d(\sin(x))^2}{\cancel{d(\sin(x))}} \times \dfrac{\cancel{d(\sin(x))}}{dx} = \dfrac{d}{dx} (\sin(x))^2
A priori, mathématiquement cela ne tient pas debout, car "dxdx" et "d(sin(x))d(\sin(x))" ne sont ni des nombres, ni des expressions. Pour tenter une justification il faut faire appel à des notions qui dépassent largement le cadre de la question traitée ici. Donc il faut considérer cela comme un moyen mnémotechnique. L'intérêt est que cette écriture de ddx(sin(x))2\dfrac{d}{dx} (\sin(x))^2 permet de trouver la dérivée de (sin(x))2(\sin(x))^2 par rapport à xx :
Les choses sont beaucoup plus claires si ff et uu sont des fonctions quelconques et non pas la fonction carrée et la fonction sinus\operatorname {sinus}. On obtient la formule qui se lit "la dérivée de f(u(x))f(u(x)) par rapport à xx est égale au produit de la dérivée de ff par rapport à uu par la dérivée de uu par rapport à xx" :
ddx(f(u(x))=dfdu×dudx \Large \boxed{ \dfrac{d}{dx}(f(u(x)) = \dfrac{df}{du} \times \dfrac{du}{dx}}

Exemple 1 :

f(x)=sin(x2)u(x)=x2f=sinuf(x)=(drive de  par rapport  )eˊeˊfaˋu×uf(x)=(drive de  par rapport  )eˊeˊsinuaˋu×drive de  par rapport  eˊeˊx2aˋxf(x)=cosu×2xf(x)=cos(x2)×2x\begin{aligned} f(x) &= \sin(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ f &= \sin u \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \frac{}{}\text{(dérivée de $f$ par rapport à $u$)} \times \operatorname{} u' \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x)&=\frac{}{}\text{(dérivée de $\sin u$ par rapport à $u$)} \times\operatorname{}\text{dérivée de $x^2$ par rapport à $x$} \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{} f'(x)&= \cos u \times 2x \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \cos(x^2)×2x \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \end{aligned}

Exemple 2 :

On va utiliser cette formule pour calculer la dérivée de la fonction x|x|, que l'on peut considérer comme une fonction composée car pour tout xx réel, x=x2|x|=\sqrt{x^2}. Par exemple, 5=(5)2=25=5|{-}5| = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5
f(x)=xf(x)=x2u(x)=x2f(x)=[u(x)]12f(x)=f(u)×u(x)dfdx=(u12)×(x2)f(x)=12u12×2xf(x)=12(x2)12×2xf(x)=xx2f(x)=xx\begin{aligned} f(x) &= \left|x\right| \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ f(x) &= \sqrt{x^2} \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ f(x) &= [u(x)]^\frac{1}{2} \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \operatorname{}f'(u) \times \operatorname{}u'(x) \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \operatorname{}(u^\frac{1}{2})' \times\operatorname{}(x^2)' \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} \times 2x \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \frac{1}{2}\left(x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \times 2x \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \frac{x}{\sqrt{x^2}} \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \frac{x}{\left|x\right|} \quad \quad \small{\gray{\text{}\operatorname{}}} \\ & \\ \end{aligned}

La dérivée de la composée d'un nombre quelconque de fonctions

La formule s'applique à la composée de plus de deux fonctions. Par exemple, soient AA, BB, CC et DD quatre fonctions, et soit ff la composée de ces quatre fonctions :
f(x)=A(B(C(D(x)))f(x) = A(B(C(D(x)))
Ici encore la notation ddx\dfrac{d}{dx} est très utile. On démontre que :
dfdx=ddxA(B(C(D(x)))=dAdB×dBdC×dCdD×dDdx \dfrac{df}{dx} = \dfrac{d}{dx} A(B(C(D(x))) = \dfrac{dA}{dB} \times \dfrac{dB}{dC} \times \dfrac{dC}{dD} \times \dfrac{dD}{dx}
f(x)f'(x) s'écrit :
f(x)=A(B(C(D(X))))×B(C(D(X)))×C(D(X))×D(x)f'(x) = A'(B(C(D(X)))) \times B'(C(D(X))) \times C'(D(X)) \times D'(x)

Exemple 4 :

Soit ff la fonction définie par f(x)=sin(ex2+x)f(x) = \sin(e^{x^2 + x}).
ff est la composée des fonctions CC, BB et AA, avec :
A(x)=sinxB(x)=exC(x)=x2+x\begin{aligned} A(x) &= \blueE{\sin x}\\ B(x) &= \greenE{e^x} \\ C(x) &= \redE{x^2 + x} \end{aligned}
Leurs dérivées sont ;
A(x)=cosxB(x)=exC(x)=2x+1\begin{aligned} A'(x) &= \blueE{\cos x}\\ B'(x) &= \greenE{e^x} \\ C'(x) &= \redE{2x + 1} \end{aligned}
On applique la formule :
f(x)=A(B(C(x)))×B(C(x))×C(x)=cos(ex2+x)×ex2+x×(2x+1)\begin{aligned} f'(x) &= A'(B(C(x))) \times B'(C(x)) \times C'(x) \\ & \\ &= \boxed{\large \blueD{\cos}(e^{x^2 + x}) \times \greenD{e}^{x^2 + x} \times \redD{(2x + 1)}} \end{aligned}