La formule de dérivation de la fonction composée uu suivie de vv est :
Elle permet de calculer la dérivée d'une fonction composée.

Retour sur les fonctions composées

Une fonction est une fonction composée uu suivie de vv si on peut l'écrire sous la forme v(u(x))v\big(u(x)\big).
Par exemple, la fonction ff telle que f(x)=cos(x2)f(x)=\greenD{\cos(}\goldD{x^2}\greenD{)} est une fonction composée car si vv et uu sont les fonctions définies par v(x)=cos(x)\greenD{v(x)=\cos(x)} et u(x)=x2\goldD{u(x)=x^2}, alors f(x)=cos(x2)=v(u(x))f(x)=\greenD{\cos(}\goldD{x^2}\greenD{)}=\greenD{v\big(}\goldD{u(x)}\greenD{\big)}.
C'est la fonction composée u\goldD u suivie de v\greenD v, car on applique d'abord la fonction u\goldD u, puis la fonction v\greenD v,
f(x)=cos( x2u(x) )v(u(x))f(x) = \greenD{\underbrace{\cos(~\goldD{\overbrace{x^2}^{\text{u(x)}}~})}_{\text{v(u(x))}}}
Attention si ff est la fonction définie par f(x)=cos(x)×x2f(x)=\cos(x)\times x^2, alors ff n'est pas une fonction composée. C'est la fonction produit des fonctions uu et vv définies par v(x)=cos(x)v(x)=\cos(x) et u(x)=x2u(x)=x^2.

Une erreur fréquente : Ne pas voir que la fonction est une fonction composée.

Si on ne voit pas que la fonction à dériver est une fonction composée, il n'est pas possible de calculer sa dérivée sans erreur.
Mais attention à ne pas confondre fonction produit et fonction composée. et à ne pas appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée à une fonction produit.
C'est une confusion que les élèves font souvent s'il s'agit d'une fonction trigonométrique ou d'une fonction logarithme. La fonction xln(sin(x))x↦\ln(\sin(x)) est une fonction composée, alors que la fonction xln(x)sin(x)x↦\ln(x)\sin(x) est une fonction produit.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Autre erreur fréquente : mal identifier les fonctions uu et vv

Si ff est la fonction uu suivie de vv, il ne faut pas faire d'erreur dans l'identification de uu et de vv.
Par exemple, si ff est la fonction définie par f(x)=cos2xf(x)=\cos^2 x, alors ff est la fonction composée uu suivie de vv avec v(x)=x2v(x)=x^2 et u(x)=cosxu(x)=\cos x. Beaucoup d'élèves font la faute de poser v(x)=cosxv(x)=\cos x.

Un exemple d'application de la formule de dérivation d'une fonction composée

Soit la fonction hh définie sur R par h(x)=(56x)5h(x)=(5-6x)^5. hh est la fonction composée uu suivie de vv :
On applique la formule :
[v(u(x))]=v(u(x))×u(x)\dfrac{}{}\left[\greenD{v\Bigl(}\goldD{u(x)}\greenD{\Bigr)}\right]' =\blueD{v'\Bigl(\goldD{u(x)}\Bigr)}\times\maroonD{u'(x)}
On multiplie l'image de u(x)\goldD u(x) par la fonction v\blueD{v'} par u(x)\maroonD{u'}(x)
On calcule u(x)u'(x) et v(x)v'(x).
u(x)=6v(x)=5x4\begin{aligned} \maroonD{u'(x)}&=\maroonD{-6} \\\\ \blueD{v'(x)}&=\blueD{5x^4} \end{aligned}
Puis :
[v(u(x))]=v(u(x))×u(x)=5(56x)4×(6)=30(56x)4\begin{aligned} &\dfrac{}{}\left[v\Bigl(u(x)\Bigr)\right]' \\\\ =&\blueD{v'\Bigl(\goldD{u(x)}\Bigr)}\times\maroonD{u'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \times(\maroonD{-6}) \\\\ =&-30(5-6x)^4 \end{aligned}

A vous

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Une erreur fréquente : oublier de multiplier par la dérivée de la fonction uu

L'erreur la plus fréquente est de calculer v(u(x))v'\big(u(x)\big) et non v(u(x))u(x)v'\big(u(x)\big)u'(x).

Autre erreur fréquente : calculer v(u(x))v'\big(u'(x)\big)

Une autre erreur fréquente est de calculer v(u(x))v'\big(u'(x)\big) pour obtenir la dérivée de v(u(x))v\big(u(x)\big).
Ce n'est pas v(u(x))v'(u'(x)) qu'il faut calculer mais v(u(x))v'(u(x)).
A retenir : La dérivée de v(u(x))\greenD{v\big(}\goldD{u(x)}\greenD{\big)} est v(u(x))u(x)\blueD{v'\big(}\goldD{u(x)}\blueD{\big)}\maroonD{u'(x)}. Ce n'est ni v(u(x))\blueD{v'\big(}\goldD{u(x)}\blueD{\big)}, ni v(u(x))\blueD{v'\big(}\maroonD{u'(x)}\blueD{\big)}.
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