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Démonstration de la formule de dérivation d'une fonction composée

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo je vais te proposer une démonstration de la règle de dérivation des fonctions composé donc on va regarder la règle de dérivation d'une fonction composer alors la première chose déjà c'est de se rappeler cette règle on va considérer deux fonctions eu et v qui sont des rives abl sur un intervalle et on va donc considérer ces deux fonctions la sueur sur l'intervalle de dérive habilité et en particulier on va dire qu'elles sont des rives à bhl en main point x et puis on va considérer la fonction f 2 x qui est défini comme ça c'est u de v 2 x eri vf primes de x et bien c'est la dérive et du calcul et en v2x donc cu prime devait de x multiplier par la dérive et devaient par rapport à x donc v primes de x alors ça on peut l'écrire avec une autre notation qu'on utilise très très fréquemment pas beaucoup au lycée mais plus tard ça devient la notation vraiment la plus utilisée en fait f primes de x je peux l'écrire comme ça c'est la dérive et 2f que j'écris df par rapport à la variable x donc je l'écris comme sadf sur des ics ça veut dire exactement la même chose c'est la dérive et 2f par rapport à la variable x est ici quand on dérive f par rapport à x c'est la même chose que dériver la fonction ui 6 par rapport à x donc ça je vais l'écrire comme ça c'est des u sur des x ce qui est intéressant ici c'est que formellement on peut imaginer écrire ça d u la dérive et de vue par rapport à v x la dérive et devaient par rapport à x et on pourrait simplifier en haut et en bas par dv retrouver exactement notre d'élus sur des x et ce qui est intéressant ici c'est que du coup cette expression l'a eue prime devait de x et bien ça c'est la dérive et 2u pas par rapport à x mais par rapport avait donc c'est ce terme-là pays sur des v et puis le terme qui est ici c'est la dérive et devaient par rapport à x donc c'est ce terme-là dv sur des x est bon de toute façon ce qu'on va faire maintenant c'est repartir de notre définition le nombre d'arrivées f primes de x en fait c'est la limite camp delta x d'anvers 0 2 f 2x plus delta x - f2 x / delta x alors ça bon je vais explicite et un petit peu le numérateur en fonction des fonctions usb qui sont là donc je vais écrire ça comme ça c'est la limite camp delta x tend vers zéro de fgx plus delta x en fait c'est u de v 2x plus delta x - de v 2 x voilà et ensuite je dois évidemment diviser tout ça par la variation de la variable x delta x alors là ce qui est intéressant c'est que le numérateur qui hélas celui là et bien ça c'est la variation de la fonction eu donc finalement ce que j'obtiens ici c'est cette expression là je peux l'écrire comme ça la limite camp delta x d'anvers 0 de delta eu sur delta x alors là tu te demandes peut-être à quoi ça sert tout ça et bien maintenant on va se servir un petit peu de ce stratagème que je t'ai montrer avec cette écriture en fait je vais réécrire ce quotient différemment en faisant apparaître la variation de la fonction v1 donc je vais faire ça ici ça me donne limite camp delta x tend vers zéro donc de cette expression là mais que je vais écrire comme ça delta eu sur delta v la variation de la fonction eut rapporté à la variation de la fonction v x la variation de la fonction vais rapporter à la variation de la variable x voilà c'est ce quotient là que j'ai écrits de cette manière là bon là tu dois pas être perturbé delta v c'est un nombre tu calcules v2x plus delta x - v2x ça c'est delta v donc c'est un nombre donc tu pourrais simplifiée delta v en haut et en bas et retrouver exactement l'expression du cause du rapporte qu'on avait ici maintenant donc je me retrouve avec la limite d'un produit et je vais utiliser ce que je sais sur les limites je sais que ça c'est égal au produit des deux limites donc ça en fait c'est la limite quand delta x d'anvers 0,2 alors cette quantité là j'ai essayé d'utiliser des couleurs un peu plus visible cette quantité la delta eu sur delta v x la limite quand delta x tend vers zéro de cette quantité là ici delta v sur delta x delta v / delta x alors c'est je peux même mettre des parenthèses donc c'est cette limite la x cette limite là alors là il ya peut-être des choses que tu reconnais en fait ici la limite camp delta x tend vers zéro de delta v sur delta x ça tu auras peut être connu que c'est exactement la dérive et devaient par rapport à x donc cette expression là ça ici c'est v prime v primes de x donc qui est cette partie là alors ça c'est déjà pas mal il nous reste à examiner le premier facteur qui est la limite quand elle taïx tend vers zéro de delta eu sur delta v alors là on est un petit peu embêté parce que ça ressemble vraiment à la dérive et de hull par rapport à v ou la dérive et de vue par rapport à x mais c'est ni l'un ni l'autre tout à fait enfin pas vu comme ça puisque ici on a limites de delta eu sur delta v mais c'est pas delta v qu'on fait tendre à zéro c'est delta x1 donc là il ya quelque chose à régler quand même et ça on va pouvoir s'en sortir en utilisant ce qu'on a fait dans la vidéo précédente alors je vais te leur montrer dans la vidéo précédente on avait démontré que si on avait une fonction continue en un point x égale c est bien qu en delta x tendait vers zéro delta usant des aussi vers zéro ça veut dire que dans le cas de fonction continue le fait de considérer des variations de x de plus en plus petit et bien implique que les variations de la fonction eu seront de plus en plus petites aux siens alors ici on va utiliser sa non pas pour la fonction humer pour la fonction v on sait que quand delta x quand delta x tend vers zéro comme la fonction v et continue puisque on a dit que les deux fonctions hu avait été dérive à blanc x1 donc ça ça nous assure qu' elles sont toutes les deux continuent puisque une fonction qui n'est pas continuer en un point ne peut pas être dérive à blanc ce point donc la fonction réelle et continue donc camp delta x tend vers zéro à ce moment-là delta v d'anvers 0 aussi du coup on peut réécrire cette expression cette limite là puisque ici on fait tendre delta x vers zéro on sait que du coup delta v va tendre vers zéro autrement dit cette limite là je peux l'écrire comme ça c'est la limite camp delta v d'anvers 02 delta eu sur delta v et du coup là on a quelque chose de tout à fait clair c'est la limite quand deltav est en vert 0,2 delta eu sur delta v donc c'est effectivement la dérive et de hull calculé enlevé 2 x donc ça effectivement c'est une prime de v2x voilà donc là on a terminé en utilisant finalement le fait que les deux pandas une composition de deux fonctions qui sont des rives à bhl au point x et puis le fait que pour une fonction béquilles et continuent quand elle taïx tend vers zéro delta v tend vers zéro aussi voilà j'espère que cette vidéo tu auras plus et aura aussi convaincu que finalement cette fameuse formule de la dérivation d'une fonction composés qui est vraiment très très utile et bien elle ne sort pas de rien du tout