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Dérivabilité en un point - fonction définie par morceaux - cas où la fonction est dérivable

Transcription de la vidéo

la fonction est faite elle continuer ou dérive à blanc 3 alors la fonction f dont on parle c'est celle ci qui est définie par morceau elle est égale à ixxo carré 6 x est plus petit que 3 et elle est égale à 6 x -9 6 x est supérieur ou égal à 3 alors donc on doit déterminer si cette fonction f et continuer ou dérive à blanc 3 on a assez réponse possible ici est en fait il ya déjà une de ses réponses qu'on peut éliminer puisqu'une conditions pour qu'une fonction soit dérive à bhl c'est que déjà elle soit continuer on ne peut pas avoir une fonction qui est des rives abl mais non on continue ce qui veut dire que on peut déjà barré cette réponse là ça c'est impossible si la fonction n'est pas continue elle ne peut pas être véritable alors maintenant on va regarder du coup la continuité on va regarder la continuité et en fait pour qu'une fonction soit continue il faut que la limite pour qu'une fonction f soit continu en trois il faut que la limite quand x temps vers 3 de la fonction f2f 2x et bien il faut que cette limite existe bien sûr et qu'elles soient égales af23 donc à la valeur de la fonction pour x égal 3 alors ben là on va regarder un peu ce qui se passe pour x égal 3 on est dans cette partie là de la fonction cette partie ici et on peut déterminer f2 3f de 3 et bien c'est 6 x 3 -9 6 x 3 ça fait dix-huit -9 ça fait neuf donc f 2 3 ces neuf maintenant on va examiner la limite quand x envers trois de la fonction f pour que cette limite là existe il faut que les limites à gauche et à droite coïncider qu'elles soient toutes les deux égale af23 alors on va commencer par regarder la limite à gauche de f donc la limite quand x temps vers 3 - 1 x est plus petit que trois donc de f2 x alors quand x est plus petit que trois on est en fait dans cette branche là de la fonction dans cette partie là et donc f 2 x et bien c'est x car est donc dans ce cas là la limite qu'on cherche c'est la limite quand x temps vers 3 - 2 x au carré et puis x au carré c'est une fonction qui est parfaitement définis et continue en trois les définit et continue sur tout l'ensemble des réelles donc en particulier en trois donc cette limite là et bien en fait c'est 3 au carré c'est à dire neuf maintenant on va calculer la limite à droite donc la limite quand x temps vers 3 plus de f2 x et quand x temps vers 3 + x est plus grand que trois donc on est dans cette branche la honte de la fonction donc en fait cette limite là c'est la limite quand x temps vers 3 plus de la fonction 6 x - 9 alors cette fonction là comme tout à l'heure elle est parfaitement définis et continue sur tout l'ensemble des réelles donc en particulier pour x égal 3 est donc cette limite là et bien c'est tout simplement la valeur de cette fonction en trois donc c'est six fois trois mois neuf c'est à dire neuf et donc ce qu'on peut voir ici c'est que les limites à gauche et à droite coïncident elles sont toutes les deux égal à 9 et 9 c'est l'image de 3par la fonction ff2 3 est égal à 9 donc finalement la limite quand x envers trois de fgx existe elle est égale af23 donc la fonction f et continue et continue 3 elle est continue en trois donc maintenant il faut qu'on étudie la dérive habilité alors je vais le faire ici on va étudier la dérive habilité 3 et on sait que pour qu'une fonction soit dérive à blanc 3 il faut que la limite quand x temps vers 3 du taux d'accroissement de la fonction donc ici de fgx - f2 3 / x - 3 et bien cette limite là doit exister et elle doit être un nombre réel ça doit pas être égale à plus ou à moins d'en finir donc je vais écrire ça comme ça il faut que cette limite existe et qu'elle soit un nombre réel alors pour que cette limite là existent comme tout à l'heure il faut que les limites à gauche et à droite en 3 soit toutes les deux égal alors je vais commencer par calcul est la limite à gauche donc quand x temps vers 3 - de ce taux de variation f 2 x - f2 3 sur x - 3 alors ici on est dans cette branche là dans la branche sous x est plus petit que trois donc f 2 x cx au carré et d'autre part on sait que af23 est égal à 9 donc finalement je vais pouvoir réécrire le numérateur ici en fait ce numérateur s'est du coup x au carré - 9 hélas au numérateur on peut reconnaître une différence de carhaix x au carré - 9 en fait ça va être x + 3 x x - 3 donc cette limite là elle est égale à la limite quand x temps vers 3 - 2 x + 3 facteur 2 x - 3 / x - 3 et ici ce qui est bien c'est que on peut diviser le numérateur et le dénominateur par x33 tous les deux donc simplifier notre expression et on obtient donc que cette limite là eh bien c'est la limite quand x temps vers 3 2 x + 3 mais cette fonction-là x + 3 la fonction x + 3 qui est là et bien elle est parfaitement définis et continuant x égal 3 elle est pour tous les nombres réels et donc cette limite là c'est en fait la valeur de la fonction x + 3 quand on remplace x par trois donc ça fait trois plus trois c'est à dire 6 voilà ça c'est la limite à gauche maintenant on va calculer de la limite à droite c'est à dire la limite quand x temps vers 3 plus de ce taux de variation la f2 x - f2 3 sur x - 3 mais cette fois ci on est dans la branche sous x est plus grand que trois donc f 2 x 6 x -9 donc je vais l'écrire directement 6 x - 9 - f2 3 qui est égal à 9 donc moins neuf encore / x - 3 alors là j'ai quelques calculs à faire au numérateur ici j'ai 6 x - 18 6 x - 18 et puis en fait ici au numérateur je peux mettre 600 facteurs donc je vais écrire ça comme ça notre limite elle est égale à la limite quand x temps vers 3 plus de 6 x x - 3 sur x - 3 et là aussi on peut simplifier notre expression en divisant en haut et en bas par x -3 et donc qu'on n'obtient que c'est la limite quand x temps vers 3 plus de 6,6 et une fonction constante donc cette limite là est égal à 6 hélas ce qu'on a obtenu ce et que donc la limite en trois à gauche et la limite en trois à droite sont toutes les deux égale à 6 ce qui veut dire que la limite quand x temps vers 3 du taux de variation existe c'est un nombre fini et il est égal à 6 ans fait ça veut dire que la fonction f et dérives abl dérive à bhl en trois mêmes ça veut dire que le nombre dérivés en 3ème prime de 3 et bien il est égal à 6 et du coup on peut barrer cette réponse là on peut barrer aussi celle là ni continue des rivales en aurait pu faire tout à l'heure puisque on a vu qu'elle est et continue et la bonne réponse c'est celle ci elle est continuer dérive à bhl en trois