Pour faire le point.

Comment dériver implicitement ?

Pour calculer une dérivée de façon implicite, il faut dériver les deux membres de l'équation à deux variables (habituellement xx et yy) en considérant l'une de ces variables comme une fonction (implicite) de l'autre. On applique aussi la formule de dérivation des fonctions composées.
Soient xx et yy liées par la relation x2+y2=1x^2+y^2=1. On va considérer yy comme une fonction (implicite) de xx.
x2+y2=1ddx(x2+y2)=ddx(1)ddx(x2)+ddx(y2)=02x+2y×dydx=02y×dydx=2xdydx=xy\begin{aligned} x^2+y^2&=1 \\\\ \dfrac{d}{dx}(x^2+y^2)&=\dfrac{d}{dx}(1) \\\\ \dfrac{d}{dx}(x^2)+\dfrac{d}{dx}(y^2)&=0 \\\\ 2x+2y\times\dfrac{dy}{dx}&=0 \\\\ 2y\times\dfrac{dy}{dx}&=-2x \\\\ \dfrac{dy}{dx}&=-\dfrac{x}{y} \end{aligned}
La dérivée de y2y^2 est 2y×dydx2y\times\dfrac{dy}{dx} et non 2y2y car yy est considérée une fonction (implicte) de xx.
Pour plus d'explications sur la dérivation implicite, regardez cette vidéo.

À vous !

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Chargement