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Contenu principal
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Exemple : Calculer une dérivée par dérivation implicite

Transcription de la vidéo

alors on a vu sur la khan academy plusieurs vidéos qui montraient comment on faisait pour calculer la dérive et d'une fonction implicite mais pour l'instant on n'a encore jamais vu comment est ce qu'on pouvait faire pour calculer le nombre d'arrivées en un point d'une fonction implicite alors c'est ce qu'on va faire dans cette vidéo donc ici j'ai tracé en fait la courbe d'équations x au carré plus y - x au cube égal à 28 alors ce qu'il faut bien comprendre là dedans c'est que le y qui est là on va le considérer comme une fonction de x la valeur de y dépend donc de la valeur de x17 fonctions-là y est donnée de façon implicite est ce qu'on va essayer de faire ici c'est de calculer la pente de la tangente à la courbe en x égal 1 on x égal alors x égal 1 c'est ici et donc ce qu'on va faire c'est calculé la pente en ce point là la pente à cette courbe en ce point là voilà la pente de 7 ans jean clade alors on va procéder comme d'habitude c'est à dire qu'on va dériver cette fonction implicite par dérivation implicite est effectivement ce qu'on va obtenir c'est une expression de cette dérive et qui va dépendre de x mais aussi de y donc pour calculer la pente en x égal 1 il va falloir probablement connaître la valeur de y alors on peut la lire ici sur le graphique c4 mais on peut aussi le retrouver par le calcul tout simplement en remplaçant x parent dans cette équation là donc c'est ce que je vais faire j'ai un au carré plus y moins un au cube égal à 28 donc je vais faire mes calculs j'obtiens donc un plus y moins au cube est égal à 28 je peux soustraire un des deux côtés j'obtiens donc que y moins un au cube est égal à 28 - c'est-à-dire 27 et puis ici je peux prendre la racine cubique des deux membres et j'obtiens que y moins un est égale à la racine cubique de 27 kg et 3 et donc finalement on retrouve ce qu'on a dit tout à l'heure y est donc égale à 3 + 1 c'est à dire 4 c'est bien l'ordonné de ce point là qu'on avait trouvé tout à l'heure donc en fait on doit déterminer la pente de la tangente à la courbe au point de coordonner 1,4 alors maintenant je vais dérivés les deux membres de ma relation qui est là donc je vais leur écrire ici xo carey plus y - x au cube égale 28 et donc je vais dérivés les deux membres de cette relation donc je vais calcule la dérive et du membre de gauche et la dérive et du membre de droite et tout ça ce sont des dérivés évidemment par rapport à x donc il faut se souvenir que y c'est une fonction de x alors la dérive et 2x au carré par rapport à xc 2x ensuite j'ai la dérive et de cette fonction-là par rapport à x alors c'est une fonction composer je vais avoir la dérivée de la fonction cube calculé en y - x donc ça va me donner 3 x y - x au cube au carré pardon x la dérivée de la fonction qui est à l'intérieur de la puissance de la puissance 3 ici donc la dérive et de y - x alors la dérive et de y - xc la dérive et 2 y y primes - la dérive et 2x qui est égal à 1 voilà et ça ça va être égal à la dérive et de 28 qui est une constante donc ça donne zéro alors maintenant je vais développer cette partie là donc je vais avoir trois fois y - x au carré x y prime et puis trois fois y - x au carré x - 1 alors je vais écrire ça donc j'ai le 2x qui ne changent pas plus ensuite j'ai ce terme là trois fois y - x au carré x y prim x y prime ensuite ce terme là x - 1 donc moins trois fois y - x au carré et tout ça c'est égal à zéro j'ai uniquement développé cette expression là et maintenant il s'agit d'exprimer y primes en fonction d'eux y ait de x alors je vais déjà réécrire ça comme ça j'ai 2x moins trois fois y - x au carré et puis plus trois fois y - x au carré x y prix mais ça c'est égal à zéro là j'ai juste réorganiser un petit peu les choses tout simplement pour réunir tous les termes qui contiennent pas de y prie maintenant c'est tout cela et cela je vais les faire passer de l'autre côté alors je remonte un petit peu je passe tout ça de l'autre côté donc je vais obtenir 3 x y - x au carré x y prime égale à l'opposé de tout ça c'est à dire trois fois y -6 au carré - 2 x et maintenant je peux y trouver une expression de y preen tout simplement en divisant par ce coefficient qu'elle a par trois fois y - x élevée au carré donc ce que j'obtiens ces trois fois y - x au carré - 2 x divisées par trois fois y - x au carré voilà donc là on obtient une expression de la dérive et de y en fonction de y ait de x donc ça en fait c'est y primes de x doublions passat alors maintenant on va pouvoir déterminer la pente de la tangente qu'au point de coordonner 1,4 donc c'est y prime de 1 qu'on va calculer et ça va nous donner trois fois y ici est égal à 4 dont 4 - x qui est égal à 1 au carré moins deux fois un donc moins 2 le tout divisé par trois fois 4 - 1 au carré alors 4 - 1 ça fait 3 3 au carré ça fait 9 x 3 ça fait 27 donc ce terme-là ses 27 donc au numérateur je vais avoir 25 sur ensuite le dénominateur ici il est égal à 27 aussi un donc finalement y prime 2 1 c'est 25 sur 27 et c'est la pente de la tangente à la courbe en ce point là en ce point ici tu peux te rendre compte qu'effectivement 25 sur 27 s'est très proche de 1 donc la pente de la tangente est très proche de 1 c'est effectivement ce qui apparaît ici sur le graphique voilà à bientôt