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Utiliser la dérivée logarithmique

Transcription de la vidéo

bonjour alors situé sur cette section sais que tu es déjà un as de la dérivation du ses dérivés une quantité assez impressionnante de fonction ce que je te propose ici c'est un petit défi une petite colle on va essayer de dérivés cette fonction la f2 x et gallix élevé à la puissance x et on va étudier cette fonction là uniquement sur pour les valeurs de x qui sont strictement positive je t'expliquerai pourquoi plus tard alors là il ya des chances que tu dises que c'est une fonction puissance donc il suffit d'appliquer la fois de la règle de dérivation des fonctions puissance il n'y a pas de difficultés particulières le problème c'est qu'une fonction puissance c'est une fonction de ce type là x élevé à la puissance n ou n est un nombre réel c'est une constante et dans ce cas là effectivement on ses dérivés ça sans problème mais ici c'est pas le cas puisque l'exposant ici c'est x et donc c'est une variable c'est pas une constante et donc on peut pas appliquer la formule de dérivation d'une fonction puissance alors comment est ce qu'on va faire on aura utilisé un stratagème assez intéressant qui sera très utile donc je vais enlever ça et l'idée c'est que quand on dérive cette fonction là par exemple logarithme de u2 x quand on dérive cette fonction là tu sais ce que ça donne ça donne une prime de x sur u2 x et donc ça c'est intéressant puisque ici on a une expression qui fait intervenir supprimer eu mais cette expression là ici c'est ce qu'on appelle la dérive est logarithmique logarithmique de la fonction eu alors je vais utiliser ça pour essayer de dérivés cette fonction f on fait ce que je vais faire c'est partir d'une autre fonction que je vais appeler g2x g2x c'est on va de la définir comme ça c'est logarithme de f2 x et là tu dois comprendre pourquoi j'ai restreint l'intervalle de définition de domaine de définition de la fonction f à ces valeurs là c'est parce que pour x strictement supérieur à zéro x élevé à la puissance x est strictement ses supérieurs à 0,6 donc je peux prendre sans logarithme ce qui permet de définir cette fonction j'ai alors maintenant je peux trouver une expression de la fonction j'ai un puisque du coup c'est logarithme 2x élevé à la puissance x et là je peux appliquer les propriétés du logarithme et faire descendre l'exposant ça va me donner sa x x logarithme 2x et maintenant je vais dérivés la fonction j'ai donc je vais calculer les primes de x et ça en fait j'ai primes de x je peux le calcul et de deux manières différentes en partant de cette première expression ici à partir de laquelle j'ai défini g et en utilisant le fait que c'est une fonction composé donc ça ça va me donner f primes de x sur f2 x puisque on est exactement dans ce cas là hein ça c'est une première façon de voir les choses mais je peux aussi utilisé cette expression la 2 x 2 g2x pardon et la dérive et de manière habituelle c'est un produit de deux fonctions donc je peux le dérivé en utilisant la règle de dérivation d'un produit et ça me donne dérivés de x fois l'homme 2x donc une fois loeb 2 x c'est-à-dire l'homme de x + x fois la dérive et de loeb 2 x donc plus x sur x c'est-à-dire en fait logarithme 2x plus un alors pourquoi est ce que j'ai fait ça bien tout simplement parce que maintenant j'ai tu vois je vais considérer c'est cette partie là uniquement et je vais multiplier tout par f 2 x donc ça va me donner f primes de x égale f 2 x x logarithme 2x plus un là maintenant j'ai terminé puisque tout ce qui est ici je le connais donc je peut réécrire l'expression finale de la dérivée de fcx élevé à la puissance x x logarithme 2x plus voilà alors ce stratagème là est vraiment très utile surtout dans le cas où tu as une fonction qui est une fonction puissance mais où les exposants et variable ça sera vraiment très très utile et on arrive à dériver des fonctions qui sont très compliquées si tu veux tu peux par exemple tant traîné à sa dérive et cette fonction-là xlv à la puissance x élevé à la puissance x donc cx élevé à la puissance x puissance x je te laisse à en exercice tu vas tu fais exactement le même raisonnement que ce qu'on a fait ici et tu sera amené à le faire deux fois en fait alors ce qu'on va faire plus tôt là c'est pas cet exercice là mais s'entraînait dérivés une autre fonction en utilisant la dérive est logarithmique on va prendre par exemple une fonction que j'appelle h2x et qui est x élevé à la puissance caussinus x donc là aussi je resterai un intervalle de définition aux valeurs strictement positive de x et je vais utiliser la même technique que tout à l'heure donc je vais introduire une fonction que j'appelle encore une fois j'ai g2x c'est logarithme de h2x logarithme de h2x donc c'est xlv la puissance caussinus x je peux appliquer les les propriétés du logarithme et ça me donne caussinus xx x l'ogs 2 x et linux du coup je peux dérivés ça comme tout à l'heure de deux manières une première manière en partant de cette expression là là quand je dérive j'obtiens h primes de x / et quand je dérive cette expression là j'obtiens la dérive et de co 6 c - cygnus x - cygnus x x logarithme dp rien de x plus qu'au 6 x la dérive et de l'oc ii x c'est-à-dire qu'au 6 sur x et donc maintenant je vais multiplier des les deux membres de cette égalité par h2x et j'obtiens une expression 2h primes de x qui est la suivante ch 2 x donc x élevé à la puissance caussinus x x caussinus x sur x - sin ou six fois log de x voilà tu vois que on part d'une fonction qui est assez complexe et en utilisant la dérive est logarithmique on arrive en faisant très peu de calcul a trouvé une expression de sa dérivée