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Règle de dérivation d'un produit pour calculer la dérivée d'un produit de trois fonctions

Transcription de la vidéo

alors ici j'ai une fonction grands thèmes de x qui est un produit de 3 fonctions grand f 2 x et petit f2 x x g2x fois h2x est ce que je voudrais faire dans cette vidéo c'est trouver une expression de la dérive et f prime grand et primes de x donc de la dérivée de cette fonction là alors c'est parce qu'on sait faire d'habitude puisque nous on a une formule pour dériver le produit de deux fonctions et ici c'est le produit de trois fonctions mais tu vas voir qu'en fait en y allant petit à petit en utilisant uniquement la règle de dérivation d'un produit de deux fonctions on va parvenir à calculer la dérive et de grève de x et en fait on va procéder en deux temps on va d'abord considérer que notre fonction c'est le produit de f2 x cette fonction-là x cette deuxième fonction là voilà donc dans ce cas là on se ramène à quelque chose qu'on connaît on a un produit de deux fonctions on va pouvoir utiliser la formule de dérivation d'un produit et ça me donne donc égale à f prime 2 x x cette fonction-là g2x fois h2x fois donc g2x fois h2x donc ça c'est le terme qui est en orange au dessus plus la deuxième partie qui est f 2 x donc f2 xx x la dérive est du deuxième terme de mon produit qui est donc la fonction g2x fois h2x g2x x h 2 x et maintenant tu vois que il faut qu'on arrive à calculer la dérive et de g2x fois h2x mais ça c'est assez facile puisque c'est un produit de deux fonctions donc cette dérive et là je vais pouvoir la calcule heures celle là je m'occupe uniquement de ça je vais pouvoir le calculé en appliquant de nouveau la règle de dérivation d'un produit ça c'est donc j'ai prime 2 x x h2x plus j'ai 2 x x h primes de x g2x x h prime 2x donc ça ici c'est uniquement ce terme là donc maintenant je vais pouvoir réécrire f primes de x et bien c'est égal donc à alors je vais l'écrire ici est grand et primes de x c'est donc f primes de x f primes de x x g2x x h2x f 2 x f 2 x fois ce terme ici donc ça je vais le mettre entre crochets ça me donne donc je vais le recopier g primes de x x h2x plus g2x hb primes de x voilà et là on pourrait s'arrêter mais je vais quand même trouvé une expression un petit peu plus clair de la dérive et de grand f donc cf prime 2 x x g2x x h2x plus alors ensuite gf2 x x ce premier terme donc f 2 x fois j'ai prime 2 xx x h2x ça c'est ce premier terme quand je développe ensuite j'ai plus f 2 x fois ce deuxième terme qui est dans la parenthèse donc f 2 x x g2x x h prime 2 x voilà ça c'est l'expression général de la fonction dérivés de grand fc 30f primes de x 10 ce qui est intéressant ici a remarqué c'est que on a un produit de 3 fonctions on obtient en dérivant une somme de 3 terme et chaque terme et la dérive et d'une fonction x les deux autres fonctions qui ne sont pas des rives est donc d'abord ici on dérive la première fonction f donc on obtient f primes de x x les deux autres fonctions non dérivés ensuite le deuxième terme c'est la première fonction x la dérivée de la deuxième x la troisième fonction non dérivés et enfin le dernier terme c'est les deux premières fonctions non dérivés x la dérivée de la troisième fonction et on peut facilement généraliser ce résultat en se disant que si on avait un produit de quatre fonctions on aurait une somme de 4 terme et chacun de ces termes serait la dérive et d'une fonction x les trois autres fonctions non dérivés et de la même manière si on avait un produit de haine fonction on obtiendra une somme de haine terme et chacun de ces termes seraient constitués de la dérivée d'une des fonctions x toutes les autres fonctions non dérivés