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Démonstration de la formule de dérivation d'un produit

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo je voudrais qu'on se donne une démonstration satisfaisante de la règle de dérivation d'un produit de deux fonctions donc on va commencer par se rappeler ce que c'est que la fonction dérivés d'une fonction f si je prends une fonction f x et bien ce qu'on sait c'est que la dérive et de cette fonction l'aef primes de x et bien c'est la limite caen hb temps vers 02 f 2 x + h - f2 x / h donc tu te rappelles en fait ça c'est le taux d'accroissement de la fonction fo point d'abc 6 est en fait cette limite là si elle existe eh bien elle correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abc 6 donc ça on s'en rappelle alors maintenant ce qu'on doit faire nous ce qu'on voudrait faire ici c'est calculé la dérive et non pas d'une fonction f simplement comme ça mais d'un produit de deux fonctions donc par exemple f 2 x poids g2x je vais essayé de calculer la dérive et de tout ça et si j'arrive à trouver une expression simple de cette dérive est là en fonction de f2 g et de leurs dérivés eh bien ça sera une règle de dérivation d'un produit alors on va repartir de la définition de la fonction dérivés c'est à dire qu'en fait ça c'est la limite quand h tend vers zéro du taux d'accroissement de ma fonction produit ici alors je vais avoir une grande fraction donc je vais faire quelque chose de très grand au dénominateur je vais avoir h et puis au numérateur je vais avoir d'abord cette fonction-là calculé en x + h donc ça je peux l'écrire cf 2x plus h x g 2x plus h voilà - cette fonction-là calculé en x alors je vais le mettre très loin tu vas voir pourquoi je t'expliquerai ça donc ici je vais mettre cette fonction-là calculé en x donc c'est tout simplement f2 xx x g2x pour l'instant ce que j'ai fait c'est juste écrire la définition de la dérive et en terme de limites du taux d'accroissement de notre fonction au point d'abc 6 alors pourquoi est-ce que j'ai laissé comme un grand espace ici bien tout simplement parce que en fait je vais ajouter quelque chose et le soustraire tout de suite ce qui ne changera pas la valeur de mon expression mais ça va nous aider à trouver une relation intéressante alors c'est pas moi qui ai trouvé ce petit stratagème peut-être que si j'avais eu énormément énormément de temps pour y réfléchir je l'aurais peut-être trouvé mais c'est même pas sûr par contre ce qui est sûr c'est que à un moment donné certains grands mathématiciens ont imaginé ce petit truc là et effectivement si tu regardes le taux d'accroissement lui même comme ça on n'a pas l'impression qu'on puisse en faire grand chose alors maintenant je vais te dévoiler le petit truc en fait ce que je vais faire c'est soustraire f 2x plus h fois g2x puis maintenant puisque je veux pas changer la valeur de mon taux d'accroissement il faut que j'ajoute exactement cette quantité là tout de suite donc je vais ajouter f 2 x + hb fois g2x voilà là j'ai absolument pas changé l'expression de mon taux d'accroissement mais l'expression que j'ai ici elle est intéressante puisqu'on va pouvoir la manipuler algébrique mans pour arriver à notre fameuse règle de dérivation d'un produit alors si jamais à un certain moment dans ce que je vais te dire tu as un petit peu d'inspiration tu sens que tu peux continuer tout seul n'hésite pas à mettre la vidéo sur pause et à aller de l'avant tout seul donc pour continuer en fait je vais séparer mon expression ici qui est très grande en deux parties j'ai d'abord cette partie là ici puis cette partie là ici pourquoi est-ce que je choisi de séparer mon expression en ces deux partis là bien c'est parce que dans la première expression ici gf2 x + hb et ici aussi eve 2x plus sage donc je vais pouvoir mettre quelque chose en facteur ça ça peut être intéressant et dans la deuxième expression j'ai aussi un facteur commun qui est g2x donc voilà dans ces deux parties là j'ai à chaque fois quelque chose que je vais pouvoir mettre en facteur ce qui va peut-être nous aider donc maintenant je vais réécrire la limite que j'ai donc ça c'est égal à la limite caen hb d'anvers 0 donc je vais mettre une grande parenthèse et puis ici je vais réécrire le premier terme mais en mettant en facteur le facteur commun que j'ai repéré ici donc f 2x plus h f 2x plus h ça il faut que je le multiplient du coup alors je vais écrire ça comme ça j'ai cette fraction là avec le dénominateur qui est égal à hacher et puis il me reste ce terme là g2x plus h g2x + hb - ce terme-là ici g2x donc moins j'ai 2 x voilà ça c'est pour la première partie que j'ai entouré ici en jaune et puis ensuite je dois ajouter la deuxième partie donc plus la deuxième partie qui est celle que j'ai entouré en rose donc en fait les un petit peu mal entouré puisque ici il aurait fallu que je prenne en compte le dénominateur en fait il aurait fallu que je l'écrive comme ça plus tôt donc mon deuxième terme c'est plutôt ça hein voilà cette partie là évidemment avec le dénominateur qui est égal à h hélas ce que j'ai dit tout à l'heure c'est qu'on avait un facteur commun qu'est ce g2 x là donc ça je vais le mettre en facteur c'est g2x et ça je vais le multiplier donc par ce qui reste alors j'ai un dénominateur qui est toujours égale à h et puis ensuite j'ai au numérateur j'ai ce terme la f2 x + h - f 2 x - f 2 x voilà là j'ai quand même pas mal avancé maintenant on va pouvoir utiliser ce qu'on connaît sur les limites on sait que la limite d'une somme de 2 terme et bien c'est la somme des limites de ces deux termes donc ça ça va être égal à la limite de ce terme là plus la limite de ce terme est là et on sait aussi que la limite d'un produit c'est le produit des limites donc la limite de ce terme là ça va être la limite de ce terme là x la limite de ce terme est là alors je vais l'écrire tu vas voir ça va se clarifier j'ai finalement limites quand h tend vers zéro de f2 x + h f 2x plus h x la limite quand h tend vers zéro de ce terme là ici donc c'est g 2x plus h - g2x - g2x / h ça c'est la limite de ce premier terme qui est ici ensuite je vais ajouter la limite du deuxième terme donc plus la limite caen hb temps vers zéro mais ici aussi j'ai un produit de deux fonctions donc la limite de ce produit est bien c'est le produit des limites donc j'ai finalement limite de g2x x la limite caen hb temps vers zéro de cette expression ici alors je vais lire et écrire tel quel le dénominateur ch et au numérateur gff 2 x + hb - f2 x voilà alors as tu reconnais peut-être des choses intéressantes ce que j'ai ici et bien en fait c'est la dérive et de j'ai calculé au point d'abc 6 donc ça c'est geprim 2 x et puis ça hermelin eh bien tu l'a peut-être connu en fait ça cf primes de x les primes de x puisque comme pour j'ai ici c'est la limite du taux d'accroissement de la fonction est calculée au point d'abc 6 alors tu vois que ça c'est intéressant il ya d'autres choses qu'on peut remarquer c'est que la limite quand h d'anvers 0 2 f 2 x + hb et bien en fait cf 2 x les deux mêmes la limite qu'en achetant vers 02 g2x alors g2x ne dépende même pas 2 h donc la limite qu'en achetant vers 02 g2x et bien c'est gdx donc finalement ce qu'on obtient et on est vraiment au bout de nos peines et bien cf 2 x f 2 x fois j'ai primes de x poids j'ai primes de x ça c'est cette partie la plus le deuxième terme qui est cette partie alors on a dit que la limite qu'en achetant vers 02 g2x et bien c'est g2x donc j'ai plus g2x fois ici f primes de x alors je vais l'écrire en blanc voilà f primes de x donc tu vois qu'on retrouve exactement la formule qui donne la dérivée d'un produit de deux fonctions c'est la première fonction x la dérivée de la 2ème plus la deuxième fonction x la dérivée de la première fonction