Dérivée du quotient de deux fonctions - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

La formule de dérivation d'un quotient

Elle permet de calculer la dérivée d'un quotient.
[f(x)g(x)]=[f(x)]×g(x)f(x)×[g(x)][g(x)]2\operatorname{}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{\operatorname{}[f(x)]'\times g(x)-f(x)\times\operatorname{}[g(x)]'}{[g(x)]^2}
On fait la différence du produit de la dérivée de f(x)f(x) par g(x)g(x) et du produit de la dérivée de g(x)g(x) par f(x)f(x) et on divise par [g(x)]2[g(x)]^2.

A quoi sert cette formule ?

Exemple 1

Soit la fonction xsin(x)x2x↦\dfrac{\sin(x)}{x^2}.
=(sinxx2)=(sinx)x2sin(x)(x2)(x2)2=cos(x)×x2sin(x)×2x(x2)2 =x(xcos(x)2sin(x))x4=xcos(x)2sin(x)x3\begin{aligned} &\phantom{=}\operatorname{}\left(\dfrac{\sin x}{x^2}\right)' \\\\ &=\dfrac{\operatorname{}(\sin x)'x^2-\sin(x)\operatorname{}(x^2)'}{(x^2)^2}&&\gray{\text{}} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)\times x^2-\sin(x)\times 2x}{(x^2)^2}&&\gray{\text{}\operatorname{}\text{ }} \\\\ &=\dfrac{x\left(x\cos(x)-2\sin(x)\right)}{x^4}&&\gray{\text{}} \\\\ &=\dfrac{x\cos(x)-2\sin(x)}{x^3}&&\gray{\text{}} \end{aligned}

À vous !

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Exemple 2

On donne :
xxf(x)f(x)g(x)g(x)f(x)f'(x)g(x)g'(x)
444-42-20088
HH est la fonction telle que, pour tout xx, H(x)=f(x)g(x)H(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}. Calculer H(4)H'(4).
H(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]2H'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}, donc H(4)=f(4)g(4)f(4)g(4)[g(4)]2H'(4)=\dfrac{f'(4)g(4)-f(4)g'(4)}{[g(4)]^2}. On obtient :
H(4)=f(4)g(4)f(4)g(4)[g(4)]2=0×(2)(4)×8(2)2=324=8\begin{aligned} H'(4)&=\dfrac{f'(4)g(4)-f(4)g'(4)}{[g(4)]^2} \\\\ &=\dfrac{0×(-2)-(-4)×8}{(-2)^2} \\\\ &=\dfrac{32}{4} \\\\ &=8 \end{aligned}

À vous !

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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