If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :5:55

Exemple - Dérivée de ∜(x³+4x²+7) avec la règle de dérivation des fonctions composées

Transcription de la vidéo

bonjour je te propose cette fonction la f2 x qui est racines quatrième 2x occupe plus 4x au carré plus est est ce qu'on va faire dans cette vidéo s'est essayé de calculer la dérive et de cette fonction alors effectivement elle peut être un peu impressionnante au départ donc s'il te fait un petit peu peur c'est assez compréhensible mais il ya deux choses en fait qu'il faut réaliser la première c'est que c'est une fonction composer ses skis à sous la racine qu'un quatrième ici ça c'est une fonction que je vais appeler eu 2 x donc on a une fonction qui est composé de u2 x et puis de la fonction racines quatrième donc ses racines quatrième de u2 x est en fait la deuxième chose qu'il faut réaliser c'est que racine quatrième d'un nombre c'est ce nombre élevé à la puissance un car je vais l'écrire comme ça c'est u2 x eu 2 x puissance un quart mieux comment est-ce qu'on peut aborder la dérivation de cette fonction f kate une fonction de composer eu 2 x puissance un car c'est une fonction composé de u2 x et d'une fonction puissance alors je vais calculé maintenant s primes de x en utilisant donc la règle de dérivation des fonctions composer je sais qu'il faut que je calcule la dérivée de la fonction puissance un quart en u 2 x donc la dérivée de la fonction de puissance un quart ben j'ai tout simplement l'exposant un car qui va descendre donc ça va me donner un quart fois u2 x alors je vais l'écrire toujours avec ses couleurs une 2 x et cette fonction u2 hic cette fois ci je vais l'élever à la puissance un quart - le l'exposant des sens et devient un facteur multiplicatif et puis on diminue les exposants 2 1 donc ici on va avoir un quart - 1 et puis ensuite ce n'est pas terminé il faut encore que je multiplie tout ça par la dérive et de u2 x donc parc du prime 2 x voilà bon avant de se lancer dans les simplifications l'écriture de cette fonction là je vais déjà calculé une prime de x alors eu de xc x occupe plus 4x au carré +7 donc pour dériver eu et bien je vais utiliser plusieurs fois la règle de dérivation des fonctions puissance je vais avoir la dérive et 2x occupy et 3,6 au carré plus la dérive et de 4x au carré qui est donc 4 x 2 x c'est-à-dire 8x 8 x plus la dérive et de sète qui est égal à zéro donc une prime de x ça c'est 3 x au carré + 8 6 alors maintenant je vais pouvoir tout réécrire proprement donc je vais avoir un car de u2 x alors eu 2 x on a dit que c'était x au cube + 4 x au carré plus 7 élevé à la puissance un quart - 1 c'est-à-dire un quart - 4 car c'est à dire moins trois quarts et ça je vais le x + primes de x qui est 3x au carré plus 8x voilà est donc là on a terminé si tu veux tu peux la ranger un peu différemment mais ça c'est l'expression de la dérive et f primes de x de cette fonction là est la clé tu vois c'était vraiment enfin les deux clés c'était la première de réaliser que la racine quatrième de u2 hic c'était u2 x puissance un quart et ensuite la deuxième clé c'était de comprendre qu'on avait affaire à une fonction composer et donc d'appliquer la règle de dérivation des fonctions composer c'est à dire de dérivés la fonction extérieur et de la calculer en u 2 x en la fonction qui est à l'intérieur et ensuite de multiplier par la dérivée de la fonction intérieur ici eu 2 x c'est exactement ce qu'on a fait ici est donc maintenant si par exemple quelqu'un te demande de calculer le nombre dérivés de cette fonction-là de la fonction f en x égal moins 3 par exemple eh bien il suffirait que tu calcules f prime f primes de moins 3 c'est à dire que tu calcules la valeur de la fonction f prime pour x égal moins 3 alors si tu veux on va le faire ça donne donc un quart fois alors -3 élevé au cube ça fait moins 27 plus quatre fois moins trois au carré - 3 au carré ça fait 9 4 x 9 ça fait 36 plus 7 le taux élevé à la puissance moins trois quarts et ensuite multipliés par trois fois alors je vais le faire directement trois fois moins trois au carré - trois quarts et on nous dit que ça faisait neuf fois 3 ça fait 27 plus huit fois moins trois c'est-à-dire moins 24 donc 27 - 24 donc ça ça nous donne un quart de alors -27 +7 ça fait moins 20 moins 20 + 36 a fait 16 donc j'ai ensuite 16 donc un quart x 16 puissance moins trois quarts x 27 - 24 ça fait 3 donc finalement ça donne trois quarts x 16 puissance moins trois quarts alors on peut aller encore un petit peu plus loin dans l'écriture de ce nombre dérivés de f prime en trois alors je vais calculer sa part 16 puissance moins trois quarts en fait ça ces seize puissance un quart le tout à la puissance -3 16 puissance 1 car c'est la racine quatrième de 16 ça fait deux donc j'ai ici deux puissances - 3 de puissance 3 ça fait 8 donc de puissance - 3 ça fait 1 8e donc finalement f prime de -3 ça fait trois quarts fois un huitième ça fait donc trois sur 32 sur 32 voilà donc ça ça représente en fait la pente de la tangente à la courbe au point d'apsys x égal moins 3