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Dérivée d'une fonction puissance si l'exposant est une fraction

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va s'entraîner à bérive et des fonctions qui comporte des radicaux alors je te donne cette fonction la f2 x qui est égal à moins 4 fois racine cubique de x et ici ce que je vais te demander c'est de calculer le nombre dérivé de la fonction f au point x égale 8 donc tu vas calculé f prime de 8 alors évidemment ça peut paraître un peu difficile parce que pour l'instant on n'a encore jamais de dérivés de fonctions racine cubique mais en fait en se souvenant de la définition de la racine cubique d'un nombre tu vas voir qu'en fait on peut dériver cette fonction-là en appliquant la règle de dérivation des fonctions puissance parce que en fait cette fonction la f2 x je peux la réécrire comme ça c'est moins quatre fois alors racine cubique de x en fait c'est x élevé à la puissance un tiers donc tu vois que là on m'a vraiment en fait une fonction puissance donc on va pouvoir la dérive et en utilisant la règle des dérivations des fonctions puissance donc si tu te souviens le l'exposant ici va descendre donc ici un coefficient je vais avoir moins quatre fois l'exposant donc moins quatre fois un tiers je vais l'écrire ici moins quatre fois un tiers x x élevé à la puissance un tiers donc l'exposant -1 l'exposant ici des sens et devient facteur multiplicatif et puis en exposant g l'exposant d'avant diminué de une unité donc ici je vais avoir xlv à la puissance un tiers moins ça voilà ça c'est en fait là l'expression de la dérive et 2f et je vais la réécrire un petit peu mieux donc ici moins quatre fois un tiers ça fait moins quatre tiers et puis j'aime x élevé à la puissance un tiers moins un tiers - 1 ça fait moins deux tiers donc ça c'est l'expression de la dérive et f primes de x et si je veux calculé f prime de 8 et bien f prime de 8 c'est donc moins 4/3 x 8 élevé à la puissance moins deux tiers alors ça ne se précipitent pas sur ta calculatrice on va le faire à la main et tu vas voir que c'est pas si compliqué en utilisant les règles de calcul avec les puissances donc ici j'ai toujours ce moins quatre tiers qui est là et puis en fait 8 élevé à la puissance moins 2/3 je veux dire que ces huit élevé à la puissance un tiers le tout à la puissance - 2 puisque ici en fait les deux exposants doivent se multiplier et on retrouve bien les exposants de moins deux tiers alors maintenant il ya autre chose dont on peut se souvenir c'est que 8 en fait ces deux élevé à la puissance 3 donc 8 élevé à la puissance un tiers eh bien ces deux élevé à la puissance 3 élevé à la puissance un tiers et donc ces deux élevé à la puissance 3 sur 3 c'est à dire 2 et devait la puissance 1 donc 2 voilà donc 8 élevé à la puissance un tiers c'est 2 donc finalement f prime de 8 c - 4/3 x 2 ici élevé à la puissance - 2 alors deux élevé à la puissance - 2 et bien c'est un sur deux élevé à la puissance 2 donc c'est un quart et finalement f prime de 8 c - 4/3 x un quart - 4/3 x 1 car ça fait moins un tiers