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Le nombre dérivé en un point quelconque de la fonction carrée

Transcription de la vidéo

alors dans la vidéo précédente on avait étudié la fonction carré fdx égale x au carré et on avait réussi à calculer le nombre dérivés de cette fonction au point d'abc 6 égal 3 donc on avait réussi à déterminer f prime de 3 et on avait trouvé que c'est égal à 6 et on avait vu qu'en fait ce nombre dérivés f prime de 3 correspondait à la tante de la tangente à la courbe au point d'abc 6 égal 3 donc maintenant je peux la tracer précisément si je pars de ce point d'abc 6 égal 3 sur la courbe et que j'augmente les abscisse deux unités donc ça ça va être delta x est bien là variations désordonnées correspondante va être de six unités donc là il faut que je monte de six unités 1 2 3 4 5 6 donc j'arrive à ce point là voilà ça c'est delta x et ça ici verticalement c'est notre delta y du coup je peux tracé maintenant la tangente à la courbe au point d'absys x égal 3 alors alors je vais essayer de tracer une portion de cette sanglante voilà donc ça c'est la tangente au point d'abc 6 égal 3 et on peut la tracé puisque on connaît un point par lequel elle passe et puis on connaît sa pente c'est à dire son coefficient directeur alors on avait terminé la vidéo précédente en se disant que ça serait quand même pas mal de pouvoir trouver une formule générale pour calculer le nombre d'arrivées de la courbe en n'importe quel point alors on va travailler là-dessus maintenant donc j'ai refait le dessin un peu plus proprement et donc ce qu'on a c'est une fonction f qui a un nombre x associe le nombre x au carré est ce qu'on sait aussi c'est que pour le point d'abc 6 de la courbe eh bien on peut calculer le nombre d'arrivées de la fonction f donc un nombre x sur l'axé des abscisses on peut calculer le nombre des rives et qu'on appelle f primes de x et qui correspond en fait à la pente de la tangente à la courbe au point d'abc 6 ça en fait ça nous définit une autre fonction qui est la fonction dérivés que je note comme sa sève prime c'est donc la fonction qui a un nombre x associe le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abc 6 ça c'est la fonction dérivés la fonction dérivés de f voilà alors je peux préciser ça sur le graphique si je prends un point d'abc 6 ici ça c'est x et bien je peux tracé la tangente à 7 à la courbe qui passent par ce point là et la pente de cette tangente et bien c'est le nombre d'arrivées f primes de x alors le nombre d'arrivées f primes de x et bien vers on l'avait obtenue par un passage à la limite c'était la limite camp delta x tend vers zéro 2 du taux de variation de la fonction kiev 2x plus delta x - f2 x / delta x voilà ça si tu te souviens plus de ces formules retourne voir les vidéos précédentes alors ce qu'on va faire maintenant c'est essayer de trouver une formule qui nous donne f primes de x directement sans passer par le passage à la limite alors ce que je vais faire c'est donner une expression du taux de variation donc je vais l'appeler comme ça delta y sur delta x je vais leur écrire maintenant en remplaçant f par son expression l'agf 2x plus delta x donc cx plus delta x élevée au carré x + delta x le tout élevée au carré - f2 x qui est x au carré là j'ai simplement remplacé f par son expression donc calculer les images des nombres x plus d'états x et x voilà alors ça je dois l / delta x là on se retrouve avec un calcul tout à fait analogue à celui qu'on a qu'on a utilisées dans la vidéo précédente avec x égal 3 ici on le fait de manière générale est ce que je vais faire c'est simplifier le numérateur déjà pour ce soit plus clair donc je vais développer xo x + deltaïques s'élever au carré ça me donne x carey plus le double produit qui est 2x delta x + delta x élevée au carré comme ça - ce x au carré qui est là et je doit diviser tout ça par delta x voilà alors ici j'essaie x au carré qui se simplifient je vais pouvoir aussi factoriser delta x et / le delta x qui est là je vais le faire un petit peu vite si tu veux j'ai factories au numérateur deltaïques 6,6 me reste 2 x + delta x voilà et je divise tout ça par delta x est ici les deltas x se simplifient est ce que j'obtiens finalement c'est 2x plus delta x voilà alors ça c'est d'après ce qu'on avait vu c'est la pente de la c quant aux deux points de la courbe ixe et xe plus delta x alors maintenant si on veut calculer f primes de x f primes de x et bien on a vu que c'était la limite c'est ce que j'ai écris ici c'est la limite camp delta x tend vers zéro de ce taux de variation donc de 2x plus delta x et comme dans la dernière vidéo ici on se retrouve avec un calcul de limites très facile à faire quand delta x tend vers zéro et bien 2x plus deltaïques ce temps vers 2x donc finalement la limite de cette fonction 2x plus deltaïques c'est bien c'est 2 x donc finalement c'est ce qu'on obtient c'est une expression du nombre dérivés f primes de x et cette expression cf primes de x égal 2 x voilà et tu vois que l'a finalement on se retrouve avec une une expression algébrique qui nous permet de calculer le nombre d'arrivées en n'importe quel point d'abc 6 en fait on obtient une expression algébrique de la fonction dérivés de f alors à partir de cette expression là on peut retrouver le résultat qu'on a vu dans la vidéo précédente le nombre dérivés au point d'abc 6 égal 3 donc f prime de 3 et bien c'est 2 fois 3 c'est à dire 6 ça c'est bien ce qu'on avait trouvé dans la vidéo précédente et puis on peut utiliser cette formule là pour calculer le nombre dérivés en n'importe quelle autre point par exemple f prime de -5 et bien c'est deux fois moins 5 2 fois moins 5 ça ça fait moins 10