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La valeur absolue d'une différence comme distance entre 2 nombres

Comprendre ce que |a-b| signifie et vérifier que |a-b| = |b-a| à travers un exemple.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo nous parlons de nombreux relatif il s'agit de nombres qui peuvent être plus grand ou plus petit que 0 le mot relatifs n'est pas employé dans tous les pays alors on va imaginer qu'on a deux nombres je vais les placer sur une droite numérique alors je vais dessiner une droite d'une droite numérique rapidement ici voilà donc je les oriente comme ça comme d'habitude à droite donc quand on se déplace vers la droite on a des nombres de plus en plus grands alors je vais prendre deux nombres que je vais placer ici lors le premier nombre je vais le mettre là ca et le deuxième nombre je vais l'appeler b et je vais le mettre ici alors là tels que je les mii tu vois que b est à droite de à tomber et plus grand que arabe si sa cb est plus grand que ah voilà alors si je veux calculer la distance entre ces deux nombres belges peuvent donc si je veux calculer cette distance là je vais la représenter ici si je veux calculer cette distance-là ici entre bea enfin de combien sont loin a et b et bien je peux tout simplement prendre b est soustrait rare donc je vais calculé b - za b - ça ça me donne une valeur positive quand on parle de distance évidemment on veut des nombres positif et là je sais que ben est plus grand que adam b - à est plus grand que 0 est positif donc effectivement ça ça me représente la distance entre ba1 distance de b à a c'est à dire de combien a et b sont loin l'un de l'autre voilà alors là j'ai pu le faire de cette manière là en calculant b - ah parce que je savais que b était plus grand que ar donc effectivement je savais que b - ah ça allait me donner un nombre positif qui allait représenter la distance alors là c'est déjà pas mal mais qu'est ce qui se passe si b plus petit que a par exemple alors dans ce cas là bas je peux faire exactement le même raisonnement mais dans le sens inverse donc voilà je dessine une autre droite numérique et je vais placer cette fois ci le point b ici et le point à la donc ça c'est le cas ou b est plus petit que à 1 a est plus grand que b il est à droite dub et donc il est plus grand que b voilà alors dans ce cas là la distance entre a et b c'est cette distance là sept longueurs ici donc c'est une longueur donc ça doit être un nombre positif et dans ce cas là bas je vais calculé à la différence à moins bien donc je prends à et j'enlève b et l'âge obtient encore une fois un nombre positif qui représente effectivement la distance entre a et b voilà donc finalement si je sais qu'un nombre est plus grand qu'un autre je peux très facilement calculer distance en prenant le plus grand et en enlevant le plus petit en retranchant le plus petit voilà alors ça c'est bien mais qu'est ce qui se passe si je ne sais pas lequel des deux nombres et le plus grand si je sais pas si à est plus grand que b ou plus grand que a dans ce cas là je ne sais pas s'il faut que je prenne b - yahoo a - b alors qu'est ce qu'on fait dans ce cas là est tout simplement on va prendre l'un des deux baies - zaouïa moimbé quel que soit n'importe lequel et on va calculer la valeur absolue de la différence donc on peut prendre à - b et prendre la valeur absolue ou bien b - za et prendre la valeur absolue et en fait dans les deux cas on va obtenir le même nombre ça tu peux vérifier ça je t'engage à a essayé de factoriser des signes - enfin des factoriser moins un dans dans l'une ou l'autre des expressions et à voir que ça ça marche vraiment on fera peut-être des vidéos plus tard là dessus on pour donner une justification un peu plus précise de cette égalité là mais bon là dedans ce qui est important dans cette vidéo je pense c'est d'arriver à se rendre compte qu'effectivement ces deux c2 nombre valeur absolue de à - b ou valeur absolue de b - a dans les deux cas ça représente la distance entre a et b aussi bien seab est plus grand que ahoussi à est plus grand que b ça n'a pas d'importance voilà donc si tu veut calculer la distance entre deux nombres tout simplement tu qu'elle comprend une des deux différences b - zahoud a - b et tuant calcule la valeur absolue alors là on va faire quelques exemples pour voir que effectivement ça marche bien comme ça alors j'ai pris je vais prendre une droite graduée voilà que la mettre ici alors on va maintenant prendre deux nombres alors par exemple on va prendre le nombre - 2 je vais le placer ici sur la droite numérique donc la c zéro ça c'est -1 et -2 il est là donc voilà ça c'est moins deux et puis je vais prendre un autre nombre qui est par exemple 3 alors 0 1 2 3 3 c'est celui ci est donc ce qu'on va faire ici c'est calculé la distance entre ces deux noms donc on va calculer cette distance-là la distance entre - 2 et 3 cette distance là alors une fois qu'on les a placés sur la droite numérique on peut calculer simplement en comptant le nombre de graduation qui a entre les deux nombres et on peut très facilement compter cette distance donc la c5 puisqu'on a une graduation de graduation 3 graduation 4 graduation et 5 graduation donc on sait que la distance entre ces deux nombres c5 alors maintenant on va calculer ces deux valeurs absolues et on va voir si ça marche si ce que j'ai dit tout à l'heure ça pique dans ce cas là alors je vais prendre d'abord -2 la valeur absolue de - 2 - 3 donc je vais faire cet cette soustraction là - 2 - 3 voilà et puis je prendre la valeur absolue de sa de cette différence la voilà donc valeur absolue de - 2 - 3 qu'est ce que ça va être bon je vais garder la valeur absolue je vais faire comme ça et à l'intérieur je vais avoir finalement - 2 - 3 - 2 - 3 ça fait moins 5 donc j'ai valeur absolue de -5 la distance la valeur absolue de - 2 - 3 c'est la valeur absolue de -5 et la valeur absolue de -5 et bien c'est 5 on enlève le signe - voilà alors là tu peut remarquer un jet ce que j'ai fait c'est que j'ai pris le plus petit nombre et j'ai enlevé le plus grand donc je l'obtiens effectivement quand je fais la différence - 2 - 3 j'obtiens un nombre négatif c'est normal puisque j'achète prix le plus petit j'ai enlevé le plus grand donc forcément j'obtiens un nombre négatif mais comme je prends la valeur absolue à la fin je me retrouve avec un nombre positif qui effectivement est la distance entre - 2 et 3 alors maintenant on va faire ça dans l'autre sens je vais prendre le plus grand et je vais enlever le plus petit donc en fait je vais calculer cette différence là 3 - je vais mettre les parenthèses il faut faire attention à ça j'enlève -2 donc je fais 3 - - 2 entre parenthèses et ça je vais en prendre la valeur absolue voilà valeur absolue de 3 - - 2 alors à l'intérieur donc je vais avoir 3 - moins de ça fait 3 + 2 donc je vais avoir valeur absolue de 3 + 2/3 +2 ça fait 5 g valeur absolue de 5 et la valeur absolue de 5 c 5 voilà alors là je retrouve encore une fois le même résultat donc tu vois que finalement ce que je disais tout à l'heure ici ce que j'avais dit si ça marche dans ce cas là on retrouve encore une fois la distance entre 3 et -2 et là bon ce que j'ai fait c'est prendre le plus grand et enlever le plus petit donc forcément je me retrouve avec un nombre positif mais je prends la valeur absolue ce qui me donne encore toujours le même nombre positif voilà alors là ce qu'il faut que tu retiennent vraiment c'est que quand tu veut calculer la distance entre deux nombres et bien tout simplement tu fais la différence entre l'un et l'autre n'importe les que dans n'importe quel sens et ensuite tu prends la valeur absolue et ça ça te donnera toujours la distance entre ces deux nombres c'est vraiment quelque chose de très important parce que quand tu vas continuer tes études quand tu vas aller plus loin en maths tu vas parfois rencontrés tu vas avoir un prof qui va te vas te parler de deux variables et qui va te donner à te dire que la distance entre ces deux variables il va parfois la donne est comme ça a moin b valeur absolue de à - b ou bien aussi il peut très bien écrire ça comme ça la valeur absolue de b - n'a de toute façon ça représente la distance entre ces deux variables qui peuvent être ordonnées différemment quand on a des variables on sait pas forcément si l'une est plus grand que l'autre donc voilà ce dans les deux cas ça ça représente la distance entre le nombre à et le nombre ep