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Rayon, diamètre et longueur d'un cercle

Pour vérifier si vous avez bien compris.

Qu'est-ce qu'un cercle ?

Nous avons tous déjà vu des cercles auparavant. Ils ont cette forme parfaitement ronde qui les rendent parfaits pour jouer au cerceau !
Tout cercle a un centre qui est le point qui se situe exactement au... centre du cercle ! Et tous les points du cercle sont à la même distance de ce centre.
Cette distance est le rayon du cercle. Le cercle de centre O et de rayon r est formé de tous les points situés à r unités de O.

Rayon d'un cercle

Par commodité de langage, on appelle aussi "un rayon" un segment de droite qui joint le centre d'un cercle et l'un des points du cercle. Donc le même mot désigne soit une longueur, soit un segment de droite. Si on parle d'un segment de droite, on dit "un rayon", et si on parle de la distance entre un point d'un cercle et son centre, on dit "le rayon".
Ci-dessous un cercle tracé en bleu et trois segments de droite. Lesquels de ces segments de droite sont des rayons du cercle ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

Diamètre d'un cercle

Une corde est un segment de droite qui joint deux points d'un cercle. Une corde qui passe par le centre du cercle est un diamètre du cercle.
Ci-dessous un cercle tracé en bleu et trois segments de droite. Lesquels de ces segments de droite sont des diamètres du cercle ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

On appelle aussi diamètre la longueur d'une corde qui passe par le centre du cercle. Comme pour le rayon, si on parle d'une corde qui passe par le centre du cercle, on dit "un diamètre", et si on parle de sa longueur, on dit "le diamètre".
Si r est le rayon du cercle et si d est son diamètre, d est le double de r :
d=2r
Quel est le diamètre de ce cercle ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Quel est le rayon de ce cercle ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

La longueur d'un cercle

La longueur d'un cercle est le périmètre de ce cercle :
Le diamètre du cercle 1 est égal à 1 unité, celui du cercle 2 est égal à 2 unités. La longueur du cercle 1 est environ égale à 3,14159, celle du cercle 2 est environ égale à 6,28318 :
On calcule le quotient de la longueur par le diamètre de chaque cercle :
Cercle 1Cercle 2
LongueurDiamètre :3,141591=3,141596,283182=3,14159
Fascinant ! Le quotient de la longueur C par le diamètre d des deux cercles est égal à 3,14159. Le nombre 3,14159 est la valeur approchée d'un nombre qui a une infinité de chiffres après la virgule. Il est donc impossible de les écrire tous. On représente toutes les décimales qu'il n'est pas possible d'écrire par trois points de suspension. On démontre que si la longueur d'un cercle est C et si son diamètre est d, alors :
Cd=3,14159
Le nom que l'on a donné à ce nombre 3,14159 que l'on ne peut pas écrire en entier est π qui se lit pi. π est la première lettre du mot périmètre en grec. On peut donc écrire :
Cd=π
Si on multiplie les deux membres de l'égalité par d, on obtient :
C=πd
La longueur d'un cercle est égale au produit de son diamètre par π.

La formule C=πd

Quelle est la valeur exacte de la longueur du cercle ci-dessous ?
Le diamètre est 10 unités, donc on remplace d par 10 dans la formule C=πd :
C=πd
C=π×10
C=10π
On demande la valeur exacte de C et non une valeur approchée, donc il ne faut pas remplacer π par une de ses valeurs approchées. La valeur exacte de la longueur du cercle est 10π unités.
À vous !
Quelle est la valeur exacte de la longueur du cercle ci-dessous ?
On demande sa valeur exacte. Ne pas utiliser une valeur approchée de π.

Un dernier exercice

Quelle est la valeur exacte de la longueur du demi-cercle ci-dessous ?
On demande sa valeur exacte. Ne pas utiliser une valeur approchée de π.

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  • duskpin ultimate style l'avatar de l’utilisateur epsilia
    Lorsqu'on s'intéresse au quotient entre la circonférence C et le diamètre d, on parle qu' "on démontre que" C/d est constante égale à pi.
    Avez-vous une source de cette démonstration ?
    (2 votes)
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    • leafers ultimate style l'avatar de l’utilisateur Picarre
      Une méthode relativement facile à comprendre pour approximer pi peut être trouvée ici (attention, c'est en anglais) : https://youtube.com/watch?v=_rJdkhlWZVQ

      L'idée générale est qu'en partant d'un hexagone inscrit dans un cercle de rayon 1 on constate que le rapport de son périmètre et du diamètre (2) est de 6 côtés de longueur 1 divisé par 2 donc 6/2 = 3. Une première approximation de pi.

      Autrement dit, le rapport entre le périmètre d'un polygone régulier inscrit dans un cercle et son diamètre est à peu près égal au rapport de la circonférence au diamètre du cercle.

      On constate facilement que la forme du polygone ne colle pas parfaitement à la courbure du cercle (il y a de la marge), on peut alors essayer de doubler le nombre de côtés ce qui donnera une forme plus circulaire à ce polygone.

      Archimède, qui est mentionné dans la vidéo et dont la méthode décrite dans celle-ci est basée sur son procédé, est allé jusqu'à calculer ce rapport pour un 96-gone (un polygone régulier ayant 96 côtés) pour obtenir un résultat d'environ 3,1410 ce qui n'est pas parfait mais bien plus précis que ce que l'on a obtenu avant.

      Donc, plus le nombre de côtés d'un polygone régulier inscrit dans un cercle est grand plus le rapport entre son périmètre et le diamètre du cercle se rapproche de la valeur de pi, c'est à dire du rapport entre la circonférence du cercle et son diamètre.
      (2 votes)
  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Didier Nahayo
    S'il vous plaît ma préoccupation paraît banale mais veuillez me répondre pour que je parvienne à comprendre. Je voudrais savoir, s'il vous plaît, pourquoi on veut trouver le rapport entre la circonférence et diamètre.
    (2 votes)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      À partir du moment où on connaît ce rapport, on va pouvoir calculer la longueur de n'importe quel cercle, dès qu'on connaît son diamètre (ou son rayon) :
      Si C/d=π, alors C=π*d, et si on connaît d, on trouve C.
      Or, il est en général très facile de mesurer le diamètre d'un cercle, mais beaucoup plus difficile de mesurer sa longueur (puisque "ça tourne")
      (2 votes)
  • stelly yellow style l'avatar de l’utilisateur Clement Blais
    🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no🤔 i do not no
    (0 vote)
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