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Cycle 3
Cours : Cycle 3 > Chapitre 3
Leçon 1: Commutativité et Associativité- L'addition est commutative
- L'addition est associative
- Propriétés de l'addition
- La multiplication est commutative
- Dans une multiplication, on peut changer l'ordre des facteurs
- Commutativité de la multiplication - Savoirs et savoir-faire
- Changer l'ordre des facteurs dans un produit
- La multiplication est associative
- Utiliser l'associativité de la multiplication pour simplifier un calcul
- Propriétés de la multiplication
- Dans une suite de multiplications, on peut grouper ou regrouper les facteurs
- Associativité de la multiplication - Savoirs et savoir-faire
- Bien comprendre ce qu'est l'associativité de la multiplication
- Utiliser l'associativité de la multiplication : multiplication d'un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre
- Associativité de la multiplication
Dans une suite de multiplications, on peut grouper ou regrouper les facteurs
La propriété qui permet de décomposer une multiplication pour simplifier le calcul.
Utiliser des parenthèses
Voici start color #01a995, 3, end color #01a995 lignes de start color #e07d10, 2, end color #e07d10 points. Le nombre de points est le produit start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10.
On copie start color #7854ab, 4, end color #7854ab fois le tableau de start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 points :
Le nombre total de points est left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
Si on compte les points, on obtient un total de 24.
Grouper différemment
Obtient-on le même résultat si on modifie les parenthèses pour que les multiplications soient faites dans un ordre différent ?
On peut mettre les parenthèses autour de start color #e07d10, 2, end color #e07d10 fois start color #7854ab, 4, end color #7854ab par exemple : start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
start color #e07d10, 2, end color #e07d10 lignes de start color #7854ab, 4, end color #7854ab points représentent le produit start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
On les reproduit start color #01a995, 3, end color #01a995 fois pour représenter le produit start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
Si on compte les points, on obtient un total de 24.
On peut associer différemment les nombres, ça ne change pas le résultat !
Dans une multiplication on peut grouper les facteurs comme on veut
Cette propriété s'appelle l'associativité de la multiplication.
Voici un exemple avec un produit de trois nombres que l'on va calculer de deux façons différentes.
On veut calculer le produit 5, times, 4, times, 2.
On peut calculer le produit de start color #11accd, 5, end color #11accd par start color #11accd, 4, end color #11accd, puis le multiplier par 2 :
empty space, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, start color #11accd, 20, end color #11accd, times, 2
equals, 40
equals, start color #11accd, 20, end color #11accd, times, 2
equals, 40
On peut aussi commencer par calculer le produit de start color #7854ab, 4, end color #7854ab par start color #7854ab, 2, end color #7854ab :
empty space, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
equals, 5, times, start color #7854ab, 8, end color #7854ab
equals, 40
equals, 5, times, start color #7854ab, 8, end color #7854ab
equals, 40
Dans les deux cas on obtient le même produit.
Ces trois produits sont égaux :
empty space, 5, times, 4, times, 2
equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
empty space, 5, times, 4, times, 2
equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
À vous !
Maintenant, on essaie de calculer un produit de deux façons différentes.
On prend les mêmes nombres mais on les associe différemment.
left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, equals, 30 et
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30
Dans les deux cas on obtient le même produit.
Expressions égales
On utilise l’associativité pour trouver des expressions égales.
On commence avec 2, times, 2, times, 5.
Ces deux produits sont égaux à 2, times, 2, times, 5 :
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis
En calculant chaque produit étape par étape, on peut trouver d'autres produits égaux.
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 4, end color #11accd, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis, equals, 2, times, start color #e07d10, 10, end color #e07d10
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis, equals, 2, times, start color #e07d10, 10, end color #e07d10
Donc le produit 2, times, 2, times, 5 est aussi égal à 4, times, 5 et à 2, times, 10.
Pourquoi grouper deux nombres dans une multiplication ?
Grouper peut permettre d'effectuer une multiplication plus facilement.
Si on doit calculer 4, times, 4, times, 5,
on peut faire le calcul en groupant les nombres de deux façons :
left parenthesis, 4, times, 4, right parenthesis, times, 5
4, times, left parenthesis, 4, times, 5, right parenthesis
4, times, left parenthesis, 4, times, 5, right parenthesis
Dans le premier cas, on obtient :
left parenthesis, start color #11accd, 4, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, times, 5
Dans le deuxième cas, on obtient :
4, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, times, start color #7854ab, 20, end color #7854ab
Il est plus facile de calculer 4, times, 20 que 16, times, 5.
Même si les nombres sont groupés différemment, on obtient le même produit.
4, times, 20, equals, 80
16, times, 5, equals, 80
16, times, 5, equals, 80