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Cycle 3

Cours : Cycle 3 > Chapitre 3 

Leçon 1: Commutativité et Associativité
Mathématiques
Cycle 3
Nombres et calculs - Propriétés de l'addition et de la multiplication
Commutativité et Associativité
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Dans une suite de multiplications, on peut grouper ou regrouper les facteurs

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La propriété qui permet de décomposer une multiplication pour simplifier le calcul.

Utiliser des parenthèses

Voici start color #01a995, 3, end color #01a995 lignes de start color #e07d10, 2, end color #e07d10 points. Le nombre de points est le produit start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10.
On copie start color #7854ab, 4, end color #7854ab fois le tableau de start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 points :
Le nombre total de points est left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
Si on compte les points, on obtient un total de 24.

Grouper différemment

Obtient-on le même résultat si on modifie les parenthèses pour que les multiplications soient faites dans un ordre différent ?
On peut mettre les parenthèses autour de start color #e07d10, 2, end color #e07d10 fois start color #7854ab, 4, end color #7854ab par exemple : start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
start color #e07d10, 2, end color #e07d10 lignes de start color #7854ab, 4, end color #7854ab points représentent le produit start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
On les reproduit start color #01a995, 3, end color #01a995 fois pour représenter le produit start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
Si on compte les points, on obtient un total de 24.
On peut associer différemment les nombres, ça ne change pas le résultat !
left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis

Dans une multiplication on peut grouper les facteurs comme on veut

Cette propriété s'appelle l'associativité de la multiplication.
Voici un exemple avec un produit de trois nombres que l'on va calculer de deux façons différentes.
On veut calculer le produit 5, times, 4, times, 2.
On peut calculer le produit de start color #11accd, 5, end color #11accd par start color #11accd, 4, end color #11accd, puis le multiplier par 2 :
empty space, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, start color #11accd, 20, end color #11accd, times, 2
equals, 40
On peut aussi commencer par calculer le produit de start color #7854ab, 4, end color #7854ab par start color #7854ab, 2, end color #7854ab :
empty space, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
equals, 5, times, start color #7854ab, 8, end color #7854ab
equals, 40
Dans les deux cas on obtient le même produit.
Ces trois produits sont égaux :
empty space, 5, times, 4, times, 2
equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis

À vous !

Exercice 1
Les produits égaux à 6, times, 3, times, 4 sont :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Maintenant, on essaie de calculer un produit de deux façons différentes.
Exercice 2
Compléter ce calcul de left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5 :
left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5space, equals, space
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times, 5
empty spacespace, equals, space
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

On prend les mêmes nombres mais on les associe différemment.
Exercice 3
Compléter ce calcul de 3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis :
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesisspace, equals, space, 3, times
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
empty spacespace, equals, space
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, equals, 30 et
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30
Dans les deux cas on obtient le même produit.

Expressions égales

On utilise l’associativité pour trouver des expressions égales.
On commence avec 2, times, 2, times, 5.
Ces deux produits sont égaux à 2, times, 2, times, 5 :
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis
En calculant chaque produit étape par étape, on peut trouver d'autres produits égaux.
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 4, end color #11accd, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis, equals, 2, times, start color #e07d10, 10, end color #e07d10
Donc le produit 2, times, 2, times, 5 est aussi égal à 4, times, 5 et à 2, times, 10.
Exercice 4
Quels sont les produits égaux à 8, times, 2, times, 4, space, question mark
Choisissez toutes les réponses possibles :

Pourquoi grouper deux nombres dans une multiplication ?

Grouper peut permettre d'effectuer une multiplication plus facilement.
Si on doit calculer 4, times, 4, times, 5,
on peut faire le calcul en groupant les nombres de deux façons :
left parenthesis, 4, times, 4, right parenthesis, times, 5
4, times, left parenthesis, 4, times, 5, right parenthesis
Dans le premier cas, on obtient : left parenthesis, start color #11accd, 4, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, times, 5
Dans le deuxième cas, on obtient : 4, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, times, start color #7854ab, 20, end color #7854ab
Il est plus facile de calculer 4, times, 20 que 16, times, 5.
Même si les nombres sont groupés différemment, on obtient le même produit.
4, times, 20, equals, 80
16, times, 5, equals, 80

À vous !

Exercice 5
2, times, 3, times, 9 est égal à :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Exercice 6
Pour éviter de multiplier par un nombre à deux chiffres, quel produit doit-on utiliser ?
Choisissez une seule réponse :

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