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Cours : Cycle 4 > Chapitre 21 

Leçon 1: Les points du plan et leurs coordonnées
Mathématiques
Cycle 4
Espace et géométrie - Le plan repéré
Les points du plan et leurs coordonnées
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Le plan repéré : FAQ

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Foire aux questions sur le plan repéré

Qu'est-ce que le plan repéré ?

Le plan repéré est un plan déterminé par deux droites graduées qui se coupent en un point appelé l'origine du repère. La droite horizontale est l'axe des abscisses x et la droite verticale est l'axe des ordonnées y. L'axe des abscisses x et l'axe des ordonnées y divisent le plan en quatre régions appelées quadrants. Ils sont légendés avec des chiffres romains dans le sens inverse des aiguilles d'une montre I, II, III et IV.
Un plan orthonormé avec un axe des x allant de moins 10 à 10 et un axe des y allant de moins 10 à 10.

Comment placer un point dans le plan repéré ?

Chaque point du plan est repéré par deux nombres appelées coordonnées du point qui nous indiquent sa position. Elles s'écrivent entre parenthèses et sont séparées par un point virgule. Le premier nombre est toujours l'abscisse x du point obtenue par projection de ce point sur l'axe horizontal. Elle indique la distance horizontale de ce point par rapport à l'origine. Le deuxième nombre est l'ordonnée y du point obtenue par projection de ce point sur l'axe vertical. Elle indique la distance verticale de ce point par rapport à l'origine.
Pour placer un point dans le plan repéré, nous devons d'abord connaître ses coordonnées. Ensuite, nous suivons les étapes suivantes :
  • On se place à l'origine du repère, point d'intersection entre l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
  • On commence par tracer la parallèle à l'axe des ordonnées passant par l'abscisse x. Si l'abscisse est positive, on se déplace à droite de l'origine. Si l'abscisse est négative, on se déplace à gauche de l'origine.
  • Puis on trace la parallèle à l’axe des abscisses passant par l’ordonnée y. Si l'ordonnée est positive, on se déplace vers le haut à partir de l'origine. Si l'ordonnée est négative, on se déplace vers le bas à partir de l'origine
  • Le point se situe à l'intersection de ces deux droites.
Par exemple, pour placer le point de coordonnées (3 ;−4), on se déplace de 3 vers la droite le long de l'axe des abscisses. On trace la parallèle à l'axe des ordonnées passant par l'abscisse 3. Puis, on se déplace de 4 unités vers le bas le long de l'axe des ordonnées. On trace la parallèle à l'axe des abscisses passant par l'ordonnée −4. On place le point avec une croix et la légende de ses coordonnées (3 ;−4).
Un repère orthonormé. Une flèche commence à l'origine et pointe à droitede 3 unités. Une deuxième flèche commence à la fin de la première flèche et pointe vers le bas de 4 unités. Il y a un point à la fin de la deuxième flèche légendé (3, moins 4).

Comment mesurer les distances horizontales et verticales sur le plan repéré ?

Nous voulons parfois connaître la distance entre deux points du plan. Une manière de la calculer est d'utiliser une règle ou une ficelle pour mesurer la longueur du segment reliant les points. Mais que se passe-t-il si nous n'avons pas d'outils de mesure ? Pouvons-nous utiliser les mathématiques pour calculer la distance ?
Oui, c'est possible ! Prenons un cas simple où les deux points ont la même abscisse ou la même ordonnée. Les deux points sont alors sur une même droite verticale ou horizontale. Par exemple, les points M(3 ;7) et N(3 ;−1) ont même abscisse, 3. Ces deux points sont sur la même droite verticale. Les points O(−2 ;4) et P(−9 ;4) ont même ordonnée, 4, ils sont sur la même droite horizontale.
Essayons de calculer la distance entre M(3 ;7) et N(3 ;−1). Le point M(3 ;7) est placé à 7 unités au-dessus de l'axe des ordonnées et le point N(3 ;−1) est placé à 1 unité en dessous de l'axe des ordonnées. Ces deux points sont donc à une distance de (7+1) unités l'un de l'autre.
7+1=8
La distance entre les points M(3 ;7) et N(3 ;−1) est de 8 unités.
On calcule maintenant la distance entre O(−2 ;4) et P(−9 ;4). Le point P(−9 ;4) est placé à 9 unités à gauche de l'origine sur l'axe des abscisses et le point O(−2 ;4) est placé à 2 unités à gauche de l'origine sur l'axe des abscisses. Ces deux points sont donc à une distance de 7 unités l'un de l'autre. Rappelez-vous, une distance est toujours positive !
9−2=7
La distance entre les points O(−2 ;4) et P(−9 ;4) est de 7 unités.

Comment calculer l'aire et le périmètre d'un polygone dans le plan repéré ?

Premièrement, on construit le polygone de sommets donnés dans le plan repéré en suivant ces étapes : 
  • On place les sommets dont les coordonnées sont données.
  • On relie les sommets dans l'ordre. N'oubliez pas de fermer la figure en reliant le dernier sommet au premier.
  • On légende le polygone en nommant les sommets par des lettres majuscules et en écrivant leurs coordonnées.
Parfois, nous devons utiliser les propriétés des figures pour finir de les construire. Par exemple, supposons que nous connaissions uniquement les coordonnées de trois sommets d'un rectangle. Pour finir de le construire, nous utilisons les propriétés du rectangle : ses côtés opposés sont de même longueur et ses côtés adjacents sont perpendiculaires.
Ensuite, nous devons calculer les longueurs de ses côtés.
Nous devons connaître les longueurs de chaque côté pour calculer le périmètre. On rappelle que le calcul du périmètre d'un polygone s'effectue en additionnant la longueur de tous ses côtés.
Pour calculer l'aire des figures de base, nous n'avons souvent besoin que de la longueur de sa base et de sa hauteur. La hauteur est le segment qui relie un sommet à son côté opposé (la base), ou son prolongement, et qui est perpendiculaire à ce côté opposé. L'aire d'un rectangle est le produit de la longueur de la base (longueur) par la hauteur (largeur). Pour des figures plus complexes, nous pourrions avoir besoin de les décomposer en plusieurs rectangles. L'aire totale sera la somme des aires de tous les rectangles qui le composent.

Pourquoi devons-nous apprendre à utiliser le plan repéré ?

Le plan repéré est un outil utile pour représenter et analyser de nombreuses situations dans le monde réel. Par exemple, nous pouvons utiliser le plan repéré pour :
  • Visualiser des lieux et des trajectoires. Les coordonnées d'un point peuvent nous indiquer sa latitude et sa longitude, qui sont des mesures de sa position sur le globe. On peut aussi utiliser le plan repéré pour tracer des itinéraires, calculer des distances et trouver des repères entre des lieux.
  • Représenter graphiquement une fonction ou un couple de données statistiques. Les coordonnées d'un point peuvent également nous indiquer les valeurs d'une variable et sa relation avec une autre variable.
  • Concevoir et construire des figures et des motifs géométriques. On peut appliquer aux figures géométriques des transformations comme des translations, des rotations et des symétries.
  • Explorer la géométrie et l'art. Les coordonnées des points peuvent également nous renseigner sur la symétrie d'une figure et sa beauté. Nous pouvons utiliser le plan repéré pour créer des figures.
Comme vous pouvez le constater, le plan repéré est un outil polyvalent et puissant qui peut nous aider à comprendre et à communiquer de nombreux aspects du monde qui nous entoure. Nous espérons que vous prendrez plaisir à le découvrir et que vous trouverez des moyens de vous amuser en le manipulant !

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