Un défi avec des triangles semblables

on nous donne cette figure qui est formée de plusieurs triangle et on nous demande de calculer la longueur cf alors on nous donne aussi quelques indications nous dit que la longueur ab mesure 9 et que la longueur des oeufs mesure 12 on donne aussi des angles droits il ya un angle droit ici entre ab enfin le segment ab est perpendiculaire au segment b e le segment c est fait aussi perpendiculaire au segment b e et puis le segment d eux aussi bon il faut essayer d'imaginer un peu ce qu'on va faire d'imaginer la direction qu'on va prendre là par exemple je pense qu'on peut qu'on peut se dire qu'on va essayer d'utiliser ce qu'on sait sur les triangles semblables parce que ici a priori ce triangle à ab eux et il va être semblable à celui qui est ici plus petit cf e a priori ce sont des triangles semblables et puis de la même manière ce grand triangle ici bd eux ils allèrent semblable à ce petit là ce petit triangle la bcf voilà bon ça c'est peut-être que si on arrive à montrer sa ensuite en arrivera à se débrouiller avec en utilisant des rapports de longues heures pour trouver la longueur cf bon alors je vais commencer donc on va d'abord essayer de montrer que ce triangle ab eux et ce triangle cf ce sont des triangles semblables alors on sait que l'angle ab eux qu'on retrouve dans dans le sommet bedu du triangle à b e et bien il a la même mesure c'est un angle droit il a la même mesure que l'angle cf eux dans le petit triangle cf donc ils ont un angle en commun mais ça suffit pas nous il nous faudrait qu'on ait au moins un deuxième angle en commun alors où est ce qu'on peut trouver un deuxième angle en commun tout simplement en fait si on regarde la figure l'angle qui est ici ont eu la dent le sommet eux celui que dessine en orange et bien c'est un angle qui est commun aux deux triangles parce que c'est l'angle à eux b dans le grand triangle à deux baies mais c'est aussi l'angle cef dans le petit triangle donc voilà en fait ces deux triangles ab e et cfe et bien ce sont des triangles semblables puisqu'ils ont deux angles et gow 2 à 2 alors je vais écrire ça donc je vais écrire que le triangle ab eux il est semblable alors il est semblable au triangle alors il faut faire attention à bien noter les sommets dans le même dans le bon ordre donc le sommet baisser celui qui a un angle droit donc il va correspondre au sommet f dans le petit triangle cfe puisque c'est c'est ici qu'est un angle droit et puis les sauts mais eux sont ceux correspondent aussi puisque c'est là où il ya l'angle orange dans les deux cas dans le grand triangle dans le petit triangle donc le sommet a va correspondre au sommet c'est donc on va pouvoir écrire que ab e et c f e sont semblables ce sont des triangles semblables voilà alors ça c'est une première chose maintenant on va essayer de montrer que les deux autres triangles qu'on avait nommé tout à l'heure ici on avait dit que le triangle bd eux ils avaient probabilité probablement semblables triangle bcf alors pour montrer ça on va faire de la même manière que ce qu'on vient de faire avec les deux autres ici on à l'angle des oeufs becky est un angle droit et qu'on retrouve ici je vais le faire ici dans l'angle dans le triangle cfb puisque ici comme cf eux c'est un angle droit évidemment cfb c'est un angle droit aussi donc finalement on a cet angle qui a même mesure dans les deux triangles langue la fcf b à la même mesure que des baies et il nous faut trouver un deuxième angle un deuxième membre de même mesure alors comme tout à l'heure cet angle là c'est tout simplement celui qui est ici dans le sommet beckett un angle du triangle bd eux n'est donc si on écrit cet angle la db eux il a même mesure que l'angle cbf dans le petit triangle donc de nouveau on se retrouve avec deux triangles qui ont deux angles et gow 2 à 2 donc ce sont des triangles semblables alors je vais l'écrire aussi ici alors ça donc j'ai b d e et puis l'autre triangle que je vais écrire en respectant l'ordre des sommets l'angle en b dans le grand triangle bd eux correspond à l'angle en béotie dans le petit triangle bcf donc c'est je vais remplacer ici b je vais m y cible donc je vais m il b comme sommet correspondant à belleu sommet qui correspond à des alors on peut voir tout de suite que le sommet qui correspond à eux c'est celui qui à l'angle droit donc ici dans le petit triangle cf donc le sommet va correspondre au sommet f et du coup le sommet des correspond au sommet c'est donc on peut écrire ça b d e et bcf sont semblables voilà alors maintenant qu'on a fait ça bon c'est pas évident de voir ce qu'il faut faire après parce que si je me place dans las premier dans le premier cas de similarités ab e6 et cfe sont semblables belge est qu à une seule longueur que je connais c'est la longueur à b donc je peux pas écrire les égalités de rapports de longues heures qu'on pourrait utiliser dans un triangle semblables et puis si je regarde l'autre cas de similarités b d e et bcf qui sont des triangles semblent abattus exactement le même kg j'ai qu'une seule longueur que je connais ici qu'est la longueur des oeufs qui vaut 12 et j'ai aucune autre l'on mesure de longueur qui m'est donnée donc je sais pas très bien comment je vais pouvoir faire alors dans ce cas là il faut pas se laisser abattre il faut continuer il faut écrire ce qu'on peut écrire même si on a l'impression que ça va pas déboucher sur quelque chose on continue à écrire donc je vais commencer par utiliser cette première similarités ab e et cf qui sont semblables et je vais écrire légalité des rapports de longues heures dans ces deux triangles là alors en commençant par le triangle par la similarité de ab e et des deux cfe je vais pouvoir écrire que le petit côté ici cf / le grand côté ab salorges et écrire ce rapport l'acf sur ab mais a baissé 9 donc je vais écrire ça tout de suite ça ça va être égal alors le petit ici cef ef je peux écrire ça ef sur e bay behe voilà wes urbain alors je pourrais écrire d'autres rapports de longues heures dans ces deux triangles large pour écrire aussi le le rapport à eux c'est sûr à 1 je peux l'écrire mais sais pas si ça va nous servir de ces sur ea et puis maintenant je vais me placer je vais faire la même chose dans le dans la 2e cat similarités donc bd pcf alors je vais pouvoir écrire dans ce deuxième cas que cf sur donc cfc le petit côté sur le grand ici qu'est la 2 e cf sur 2 mai 2e c'est 12 ça va être égale abf sur b e b f sûr mais là je pense que vous reconnaissez tout ce qu'on fait en fait c'est l'utilisent le théorème de thalès sans le nommer et puis ensuite je vais écrire ce troisième rapport baissé sur bd baissé sur bd voilà alors jusque là je ne sais pas très bien ce que je vais pouvoir faire mais il ya quelque chose qui est pas qu est pas inintéressant quand même dans ce que j'ai écris c'est que ici j'ai j'ai eu le f / b e ici gbf sur b e alors maintenant je peux peut-être du coup essayer de relier ces deux rapports l'aef sur bbf sur b2 parce qu'en fait regarder ce qui se passe ici gbf plus february2009 et b e alors du coup je peux écrire je peux remplacer le f f par b e - bf par exemple pe - bf alors du coup je vais reprendre je vais réécrire ce rapport là cf sur neuf et galeux f / b e je vais leur écrire je vais de réécrire comme ça cf sur neuf égale b e - bf sur b e et donc ça je peux aussi l écrire de cette manière là c b e / b e - br / b e donc bo sur bs a fait un moins bf sur b e voilà et alors là c'est pas mal certain ça c'est intéressant parce que ici je retrouve ce bf sur b e que j'avais écrit ici là donc finalement je vais me retrouver avec ça je peux continuer à écrire cf sur neuf ça va être très égal à 1 - alors je vais au lieu de mettre bf sur buzz je vais écrire cf sur 12 puisque br / b e c'est égal acf sur 12 donc 1 - cf sur neuf c'est égal à 1 - cf sur 12 alors voilà quelque chose d'intéressant parce que là du coup j'ai une équation avec une inconnue qui essaient de l'inconnu cf donc je vais pouvoir résoudre ça donc là je vais continuer je vais écrire je vais passer tous les cf de l'autre côté jack gcf sur neuf plus cf sur 12 qui est égal à 1 alors pour trouver dénominateur commun il faut prendre le plus petit multiples commun ça va être 36,36 donc ici pour aller jusque de 9 à 36 2 x 4 donc j'ai 4 cf sur 36 plus ici pour passer de 12 à 36 je vais multiplier par 3 donc 3 cf sur 36 égal à 1 donc je vais me retrouver finalement avec cf alors 7 cf égale 36 donc finalement je trouve que cf la longueur cf c'est 36 7e voilà on a terminé le longueur cfc 36 septième alors c'est assez intéressant comme exercice parce qu'en fait ce qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que si par exemple vous avez deux immeubles un immeuble ici ou un mur un ici qui est placé en haut point b qui mesure 9 mètres de haut 9,2 au 919 m et puis un autre mur qui mesure 12 mètres de haut et bien quand vous tracer les les droites qui vont du sommet de l'un au pied de l'autre eh bien ces deux lits elles vont de toute façon se couper un point d'intersection sait qui sera une hauteur de 36 7e et ça ça dépend pas du tout de la de l'espacement qu'il ya entre les deux murs je veux dire si vous éloigner le mur ici à bo du mur d eux ça changera rien le point c'est il sera toujours à une hauteur de 36 7e voilà ça c'est assez étonnant on s'y attend pas a priori