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Cours : Cycle 4 > Chapitre 25

Leçon 6: Des définitions

Appliquer une transformation FAQ

Foire aux questions sur l'application d'une transformation

Qu'est-ce qu'une isométrie et pourquoi une homothétie n'est-elle pas une isométrie ?

Une isométrie est une transformation du plan ou de l'espace qui conserve les longueurs et les mesures des angles. Les translations, les rotations et les symétries sont des isométries.

Une homothétie est une transformation qui multiplie les distances par un nombre

k

appelé rapport de l'homothétie. La figure ne change pas de forme, ses proportions sont conservées, c'est pourquoi on parle aussi parfois d'agrandissement (si

| k | > 1

) ou de réduction (si

| k | < 1

Comment déterminer le centre de l'homothétie ?

Tout d'abord, il faut garder en tête qu'une homothétie est une transformation qui modifie la taille d'un objet géométrique sans en modifier sa forme.

Le centre de l'homothétie est donc le point à partir duquel une figure géométrique est mise à l'échelle. Il est invariant, c'est-à-dire qu'il n'est pas affecté par l'application de l'homothétie : il est sa propre image.

Pour retrouver le centre de l'homothétie, nous avons besoin de connaître au moins deux points et leurs images.

Soient les points

A

B

et leurs images

A^{'}

B^{'}

Pour trouver le centre de l'homothétie, on trace les deux droites

(A A^{'})

(B B^{'})

Le centre de l'homothétie est le point de concours de ces deux droites.

Un peu d'entraînement avec cet exercice : Retrouver le centre d'une homothétie.

Comment déterminer le centre de la rotation ?

Le centre de la rotation est le point fixe autour duquel nous faisons tourner la figure dans le plan. Le centre de rotation est le seul point invariant pour toute rotation d'angle non nul.

Pour retrouver le centre de la rotation, nous avons besoin de connaître au moins un point et son image. Si le point

P^{'}

est l'image du point

P

par la rotation de centre

O

, alors

O

est à égale distance de

P

P^{'}

: il est sur la médiatrice de

[P P^{'}]

Soient les points

A

B

et leurs images

A^{'}

B^{'}

Pour trouver le centre de rotation, on trace les segments

[A A^{'}]

[B B^{'}]

On construit ensuite les médiatrices des segments

[A A^{'}]

[B B^{'}]

Le point d'intersection des deux médiatrices est le centre de la rotation.

Comment construire l'image d'une figure par une isométrie ?

Pour construire l'image d'une figure par une translation qui transforme le point

A

B

à l'aide du compas, il faut reporter la distance

A B

dans le sens donné, de

A

vers

B

On commence par tracer le segment $[A B]$ ‍.
On veut construire l'image du point $C$ ‍. Pour cela, il faut construire la parallèle au segment $[A B]$ ‍ passant par C.
On trace une droite $(d)$ ‍, passant par $C$ ‍, parallèle à $(A B)$ ‍.
Avec le compas, on reporte la longueur $A B$ ‍ sur $(d)$ ‍ à partir de $C$ ‍ et dans le sens de $A$ ‍ vers $B$ ‍. On obtient le point $D$ ‍.
On répète ce processus pour chaque point de la figure originale afin de construire son image par la translation donnée.

Pour construire l'image d'une figure par une symétrie axiale, il faut d'abord identifier l'axe de symétrie, appelons-le

(d)

Avec l'équerre et une règle graduée : on construit la droite perpendiculaire à $(d)$ ‍ passant par $P$ ‍, le point à transformer.
On reporte la distance de $P$ ‍ à $(d)$ ‍ de l'autre côté de $(d)$ ‍ sur cette perpendiculaire : avec la règle graduée ou le compas.
On obtient le point $P^{'}$ ‍ tel que $(d)$ ‍ soit la médiatrice de $[P P^{'}]$ ‍
Avec le compas : on choisit deux points distincts quelconques $A$ ‍ et $B$ ‍ sur la droite $(d)$ ‍
On trace deux arcs de cercle de centres $A$ ‍ et $B$ ‍, et passant par $P$ ‍.
Ces deux arcs se coupent en deux points : l'un est $P$ ‍, l'autre est le point $P^{'}$ ‍.
On répète une de ces méthodes pour chaque point de la figure originale, puis on relie les images trouvées entre elles.

Pour construire l'image d'une figure par une rotation, il faut connaître le centre de rotation, l'angle de rotation et le sens de rotation. Le sens direct est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Soient un point $A$ ‍ et le centre de rotation $O$ ‍, donnés.
On trace la demi-droite $[O A)$ ‍.
On trace un arc de cercle de centre $O$ ‍ et de rayon $O A$ ‍ dans le sens direct
Avec le rapporteur, on marque l'angle de rotation, avec une demi-droite coupant l'arc de cercle. (Remarque : pour certains angles de rotation, comme $60 °$ ‍, nous pouvons construire l'angle au lieu d'utiliser un rapporteur).
Le point d'intersection de la demi-droite et de l'arc de cercle est l'image du point $A$ ‍.
On répète ce processus pour chaque point de la figure originale.
On relie les points images pour obtenir l'image de la figure par la rotation donnée.

Où rencontrons-nous ces transformations dans la vie quotidienne ?

Les transformations du plan ont d'innombrables applications dans la vie quotidienne ! Par exemple, les architectes peuvent utiliser les translations, les rotations et les symétries pour concevoir un bâtiment, et les graphistes peuvent les utiliser pour créer des logos ou des publicités. Les homothéties sont souvent utilisées dans la cartographie pour agrandir ou réduire une carte à la taille souhaitée.

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leo velo
Posté il y a il y a 13 jours. Lien direct vers le message de leo velo «bonjour je n'ai pas compr ... »
bonjour
je n'ai pas compris que pour une homothétie Pour trouver le centre de l'homothétie, on trace les deux droites et le centre de l'homothétie est le point de concours de ces deux droites.
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Réponse
- Elisabeth
  Posté il y a il y a 12 jours. Lien direct vers le message de Elisabeth «Bonjour, Essayez de faire ... »
  Bonjour,
  Essayez de faire le dessin d'une homothétie : tracez un objet (un triangle ABC, par exemple), choisissez un centre O et un rapport, et tracez son image, le triangle A'B'C'.
  Puis, imaginez que vous ne connaissez pas le centre O de l'homothétie, et cherchez-le en traçant les droites (AA'), (BB') et (CC'). Leur point d'intersection est le point O.
  Vous pouvez aussi faire la batterie d'exercices renseignée juste après le paragraphe.
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