Appliquer une symétrie axiale dans le plan repéré en utilisant l'outil interactif

La symétrie axiale d'axe (d), ou la symétrie par rapport à la droite (d), est la transformation dans laquelle l'image d'un point $M$‍ est le point $M^{\prime }$‍ tel que la droite (d) soit la perpendiculaire au segment $[M{M}^{\prime }]$‍ en son milieu. Le point $M$‍ et son image $M^{\prime }$‍ sont donc à la même distance de la droite $(d)$‍.

Le transformé du triangle $ABC$‍ par la symétrie axiale d'axe la droite en pointillés est le triangle bleu.

Une symétrie axiale est une isométrie. Une figure et son image par une symétrie axiale sont donc égales, ou superposables.

L'équation de l'axe de symétrie est le plus souvent sous la forme $y=mx+b$‍.

L'objectif est qu'un point quelconque de la figure et son image soient à la même distance de l'axe de la symétrie.

Soit à construire l'image du segment $[PQ]$‍ dans la symétrie par rapport à la droite d'équation $y=x$‍. Avec l'outil interactif c'est tout simple, mais comment procède-t-on sur une feuille de papier ?

La première chose à faire est de tracer la droite d'équation $y=x$‍. Son coefficient directeur est $1$‍ et son ordonnée à l'origine est $0$‍.

L'image du segment $[PQ]$‍ est un segment. Il suffit donc de construire les images de ses extrémités $P$‍ et $Q$‍. L'image de $P$‍ est le point de la perpendiculaire à la droite d'équation $y=x$‍ passant par $P$‍ qui est à la même distance de cette droite que $P$‍. De même, l'image de $Q$‍ est le point de la perpendiculaire à la droite d'équation $y=x$‍ passant par $Q$‍ qui est à la même distance de cette droite que $Q$‍.

Il est intéressant de remarquer et de retenir que dans le cas particulier où l'axe de la symétrie est la droite d'équation $y=x$‍, l'image du point de coordonnées $(a;b)$‍ est le point de coordonnées $(b;a)$‍.

L'image du segment $[PQ]$‍ dans la symétrie par rapport à la droite d'équation $y=x$‍ est le segment bleu ci-dessous.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.