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Cours : Cycle 4 > Chapitre 8 

Leçon 8: Développer une expression littérale

Développer le produit de deux binômes

Un rappel avant de faire les exercices de la batterie Multiplier deux sommes de deux termes 1.
Pour revoir la leçon sur la distributivité de la multiplication sur l'addition, cliquez ici.

Exemple 1 : Développer (x+2)(x+3)

Pour développer ce produit, on peut utiliser l'une ou l'autre de ces deux méthodes :

1. On utilise une méthode géométrique

On partage en quatre un rectangle de longueur x+3 et de largeur x+2 :
Un modèle d'aire pour un rectangle qui a une hauteur de x plus deux et une largeur de x plus trois. Le rectangle est divisé en quatre rectangles afin d'isoler chaque terme de la hauteur et de la largeur. Le rectangle supérieur gauche a une hauteur de x et une largeur de x. Le rectangle supérieur droit a une hauteur de x et une largeur de trois. Le rectangle inférieur gauche a une hauteur de 2 et une largeur de x. Le rectangle inférieur droit a une hauteur de 2 et une largeur de 3.
On calcule l'aire de chacun des quatre rectangles en multipliant sa longueur par sa largeur :
Un modèle d'aire pour un rectangle qui a une hauteur de x plus deux et une largeur de x plus trois. Le rectangle est divisé en quatre rectangles afin d'isoler chaque terme de la hauteur et de la largeur. Le rectangle supérieur gauche a une hauteur de x et une largeur de x. L'aire du rectangle supérieur gauche est x au carré. Le rectangle supérieur droit a une hauteur de x et une largeur de trois. L'aire du rectangle supérieur droit est de trois x. Le rectangle inférieur gauche a une hauteur de deux et une largeur de x. L'aire du rectangle inférieur gauche est de deux x. Le rectangle inférieur droit a une hauteur de deux et une largeur de trois. L'aire du rectangle inférieur droit est de six.
On fait la somme de ces quatre aires :
x2+3x+2x+6
On réduit cette expression et on obtient :
x2+5x+6

2. On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition

On applique la distributivité de la multiplication sur l'addition deux fois de suite :
=(x+2)(x+3)=(x+2)x+(x+2)×3=x×x+2×x+x×3+2×3=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
Dans les deux cas, on a établi que (x+2)(x+3)=x2+5x+6.

À vous !

Exercice 1.1
Développer et réduire :
(x+3)(x+4)=
Choisissez une seule réponse :

Exemple 2 : Développer (x4)(x+7)

Dans cet exemple, x4 est la somme d'une variable et d'un nombre négatif.

1. On utilise une méthode géométrique

L'artifice est d'écrire que l'une des dimensions est 4 et non 4.
Un modèle d'aire pour un rectangle qui a une hauteur de x moins quatre et une largeur de x plus sept. Le rectangle est divisé en quatre rectangles afin d'isoler chaque terme de la hauteur et de la largeur. Le rectangle supérieur gauche a une hauteur de x et une largeur de x. Le rectangle supérieur droit a une hauteur de x et une largeur de sept. Le rectangle inférieur gauche a une hauteur de moins quatre et une largeur de x. Le rectangle inférieur droit a une hauteur de moins quatre et une largeur de sept.
On calcule les aires de chacun des quatre rectangles :
Bien sûr, géométriquement, une dimension négative n'a pas de sens, mais cet artifice permet de calculer sans erreur le produit de deux sommes quelles que soient ces sommes.
Un modèle d'aire pour un rectangle qui a une hauteur de x moins quatre et une largeur de x plus sept. Le rectangle est divisé en quatre rectangles afin d'isoler chaque terme de la hauteur et de la largeur. Le rectangle supérieur gauche a une hauteur de x et une largeur de x. L'aire du rectangle supérieur gauche est x au carré. Le rectangle supérieur droit a une hauteur de x et une largeur de sept. L'aire du rectangle supérieur droit est sept x. Le rectangle inférieur gauche a une hauteur négative de quatre et une largeur de x. L'aire du rectangle inférieur gauche est moins quatre x. Le rectangle inférieur droit a une hauteur de moins quatre et une largeur de sept. L'aire du rectangle inférieur droit est moins vingt-huit.
On fait la somme des produits obtenus :
=x2+7x+(4x)+(28)=x2+3x28

2. On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition

On applique la distributivité de la multiplication sur l'addition deux fois de suite :
=(x4)(x+7)=(x4)x+(x4)×7=x×x+(4)×x+x×7+(4)×7=x24x+7x28=x2+3x28

À vous !

Exercice 2.1
Développer et réduire :
(x2)(x+5)=
Choisissez une seule réponse :

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