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Cours : Cycle 4 > Chapitre 8 

Leçon 9: Factoriser une expression littérale

Diviser un monôme par un autre monôme

Comment obtenir la décomposition maximale d'un monôme et le facteur manquant dans la décomposition d'un monôme.

Les prérequis

Un monôme est une expression de la forme axn ou a est un nombre réel et n un entier naturel. Exemple : 3x2. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple : 3x2+6x1.
Si A=B×C, alors B et C sont des diviseurs de A, et A est divisible par B et par C. Reportez-vous éventuellement à la leçon Divisibilité d'un polynôme par un autre.

Le sujet traité

Dans cette leçon on va apprendre à décomposer un monôme en un produit de facteurs. Pour cela on va s'aider de ce que l'on sait déjà de la décomposition d'un entier en facteurs premiers.

Qu'est-ce que décomposer un monôme ?

Décomposer un monôme consiste à l'écrire sous forme d'un produit d'au moins deux monômes.
Voici, par exemple, plusieurs décompositions possibles du monôme 8x5 :
  • 8x5=(2x2)×(4x3)
  • 8x5=(8x)×(x4)
  • 8x5=(2x)×(2x)×(2x)×(x2)
On peut vérifier qu'en effectuant les produits donnés on retrouve bien 8x5.

Une question

On a demandé à trois élèves, André, Ahmed et Arthur de décomposer le monôme 20x6 en un produit de deux monômes. Voici leurs réponses :
AndréAhmedArthur
20x6=(2x)(10x5)20x6=(4x3)(5x3)20x6=(20x2)(x3)
1) Quels sont ceux qui ont donné une réponse exacte ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

Décomposer un monôme au maximum

Rappel : décomposition d'un entier

Tout nombre entier peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.
Par exemple 30=2×3×5.

Et maintenant les monômes...

Pour décomposer au maximum un monôme, on décompose le coefficient numérique en un produit de facteurs premiers ET on écrit la partie littérale sous forme d'un produit de facteurs d'exposant égal à1.
Par exemple pour trouver la décomposition maximale du monôme 10x3,on commence par décomposer le coefficient 10 en un produit de facteurs premiers 2×5 puis on écrit x3 sous forme du produit x×x×x. Donc la décomposition maximale de 10x3 est :
10x3=2×5×x×x×x

À vous !

2) Lequel de ces produits est la décomposition maximale de 6x2?
Choisissez une seule réponse :

3) Lequel de ces produits est la décomposition maximale de 14x4?
Choisissez une seule réponse :

Retrouver le facteur manquant dans la décomposition d'un monôme

Rappel : décomposition d'un entier

On sait qu'un entier b vérifie 56=8b. Comment trouver b?
Tout simplement en divisant 56 par 8. On obtient b=7.

Et maintenant les monômes...

On peut faire la même chose avec les monômes. Si, par exemple, on sait que le monôme C(x) est tel que 8x5=4x3×C(x) on peut trouver C(x) en divisant 8x5 par 4x3 :
8x5=4x3×C(x)on divise les deux membres par 4x3:8x54x3=4x3×C(x)4x3on simplifie : 2x2=C(x)
On vérifie en montrant que le produit de 4x3 par 2x2 est bien égal à 8x5.
(4x3)(2x2)=4×2×x3×x2=8x5

À vous !

4) Trouver le monôme B(x) tel que :
28x5=7x×B(x)
Choisissez une seule réponse :

4) Trouver le monôme C(x) tel que :
40x9=(4x3)×C(x)
C(x)=

Unicité de la décomposition maximale

Il existe plusieurs façons de décomposer 12 sous forme d'un produit de nombres entiers. En voici des exemples :
  • 12=2×6
  • 12=3×4
  • 12=12×1
  • 12=2×2×3
Mais la décomposition de 12 en un produit de facteurs premiers est unique et c'est 2×2×3.
C'est la même chose pour les monômes. Il existe plusieurs façons de décomposer 18x3 en un produit de monômes. En voici quelques exemples :
  • 18x3=2×9×x3
  • 18x3=3×6×x×x2
  • 18x3=2×3×3×x3
Mais il n'y a qu'une décomposition maximale !
18x3=2×3×3×x×x×x

Un dernier exercice

6) Trouver la décomposition maximale de 22xy2.
22xy2=

7) L'aire du rectangle est égale à 24x3 mètres carrés et sa longueur est égale à 4x2 mètres.
Quelle est sa largeur l ?
l=

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