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Cours : Cycle 4 > Chapitre 8 

Leçon 9: Factoriser une expression littérale

Le plus grand diviseur commun de deux expressions littérales

Trouver le plus grand diviseur commun de deux ou de plusieurs monômes.

Les prérequis

Un monôme est une expression de la forme axn ou a est un nombre réel et n un entier naturel. Exemple : 3x2. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple : 3x2+6x1.
Pour obtenir la décomposition maximale d'un monôme on décompose le coefficient numérique en un produit de facteurs premiers et on écrit la partie littérale sous forme d'un produit de facteurs d'exposant 1. Reportez-vous à la leçon Diviser un monôme par un autre monôme .

Le sujet traité

Dans cette leçon on va apprendre à trouver le plus grand diviseur commun de deux monômes (et de plusieurs monômes).

Rappel : le plus grand diviseur commun (PGCD) de deux entiers

Le plus grand diviseur commun (PGCD) de deux nombres entiers est le plus grand entier qui divise à la fois les deux nombres. Par exemple, le PGCD de 12 et de 18 est 6.
Pour trouver le PGCD de deux entiers on peut utiliser la décomposition en facteurs premiers de ces entiers :
  • 12=2×2×3
  • 18=2×3×3
On constate que le facteur 2 apparait dans les deux décompositions et que 3 apparait aussi dans les deux décompositions. Ce sont donc deux diviseurs communs à 12 et à 18. Le plus grand diviseur commun de 12 et 18 est donc le produit de ces deux nombres premiers : 2×3=6.

Le plus grand diviseur commun de deux ou plusieurs monômes

On procède de la même façon pour trouver le plus grand diviseur commun à deux monômes.
On trouve la décomposition maximale de chaque monôme, puis on cherche les facteurs communs apparaissant dans ces décompositions. Le monôme égal au produit de ces facteurs communs sera le plus plus grand commun diviseur des monômes.
On va prendre comme exemple les deux monômes 10x3 et 4x :
  • 10x3=2×5×x×x×x
  • 4x=2×2×x
Le facteur 2 apparaît une fois dans les décompositions maximales de 10x3 et 4x, et le facteur x une fois également. On en déduit que le plus grand diviseur commun des deux monômes est : 2×x qu'on écrit 2x.

À vous !

1) Quel est le plus grand diviseur commun de 9x2 et 6x?
Choisissez une seule réponse :

2) Quel est le plus grand diviseur commun de 12x5 et 8x3?
 

3) Quel est le plus grand diviseur commun de 5x7, 30x4, et 10x3 ?
 

Comment trouver la partie littérale du plus grand diviseur commun de deux monômes sans avoir à utiliser la décomposition maximale de ces monômes

La partie littérale du plus grand commun diviseur de deux ou de plusieurs monômes est égale à la partie littérale du monôme ayant le plus petit exposant.
Soient les deux monômes 6x5 et 4x2:
  • La partie littérale ayant le plus petit exposant est x2, donc ce sera la partie littérale du plus grand diviseur commun.
  • On détermine alors le PGCD de 6 et de 4, qui est égal à 2, on le multiplie par la partie littérale trouvée précédemment x2 et on obtient le plus grand diviseur commun des deux monômes : 2x2 !
Pour 6 et 4 c’est 2Les parties littérales sont x5 et x2. Celle qui a le plus petit exposant est x2On obtient 2x2
Cette méthode est particulièrement utile lorsqu'on cherche le plus grand diviseur commun de monômes dont les parties littérales ont de très grands exposants. Par exemple, il serait beaucoup trop long d'utiliser la décomposition maximale des monômes 32x100 et 16x88 pour trouver leur plus grand diviseur commun !

Un dernier exercice

4) Quel est le plus grand diviseur commun de 20x76 et 8x92 ?
 

5) Quel est le plus grand diviseur commun de 40x5y2 et 32x2y3 ?
 

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