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Contenu principal

Cycle 4

Chapitre 8 : Leçon 9

Factoriser une expression littérale

Factoriser une expression littérale si ses termes ont des facteurs communs

Comment établir, par exemple, que 6x² + 10x = 2x(3x+5)

Les prérequis

Pour trouver le plus grand diviseur commun de a, x, start superscript, n, end superscript et b, x, start superscript, m, end superscript, on décompose a et b en un produit de facteurs premiers et on écrit x, start superscript, n, end superscript et x, start superscript, m, end superscript sous forme d'un produit de facteurs d'exposant 1. Par exemple le plus grand diviseur commun de 6, x et 4, x, squared est 2, x.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la factorisation d'une expression dont les termes ont des diviseurs communs.

La distributivité de la multiplication sur l'addition : a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c

On utilise cette propriété pour développer un produit.
Par exemple, voici le produit de 3, x, squared par 4, x, plus, 3 :
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
On multiplie chacun des termes de la somme 4, x, plus, 3 par start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99.
Si on écrit l'égalité dans l'autre sens, on obtient :
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis
On a mis start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99 en facteur dans la somme left parenthesis, 3, x, squared, ×, 4, x, right parenthesis, plus, left parenthesis, 3, x, squared, ×, 3, right parenthesis et on a obtenu le produit 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.
L'expression est écrite sous forme d'un produit. On dit qu'elle est factorisée.

À vous !

Exercice 1
La factorisation de 2, x, ×, 3, x, plus, 2, x, ×, 5 est :
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

On met en facteur le plus grand diviseur commun des termes

Voici la marche à suivre pour mettre en facteur le plus grand diviseur commun des termes :
  1. On cherche le plus grand diviseur commun.
  2. On écrit chacun des termes sous la forme d'un produit dont l'un des facteurs est ce plus grand diviseur commun.
  3. On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition.
Voici l'exemple de la factorisation de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared.
1 - On cherche le plus grand diviseur commun des termes
  • 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, times, x
  • 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, times, 3, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Donc le plus grand diviseur commun de 2, x, cubed et 6, x, squared est start color #ca337c, 2, end color #ca337c, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99.
2 - On écrit chacun des termes sous la forme d'un produit dont l'un des facteurs est start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99 .
  • 2, x, cubed, equals, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, ×, x
  • 6, x, squared, equals, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, ×, 3
Donc 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, ×, x, minus, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, ×, 3.
3 - On met en facteur le plus grand diviseur commun
On applique la distributivité de la multiplication sur l'addition pour mettre en facteur start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis
On vérifie.
Pour vérifier, on calcule le produit de 2, x, squared par x, minus, 3 :
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
On obtient bien l'expression donnée donc il n'y a pas d'erreur !

À vous !

Exercice 2
12, x, squared, plus, 18, x est égal à :
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 3
Factoriser au maximum ce polynôme :
10, x, squared, plus, 25, x, plus, 15, equals

Exercice 4
Factoriser au maximum ce polynôme :
x, start superscript, 4, end superscript, minus, 8, x, cubed, plus, x, squared, equals

Est-il obligatoire de détailler toutes ces étapes ?

La réponse est non !
Une fois que l'on a trouvé le plus grand diviseur commun des termes du polynôme, on peut écrire directement que le polynôme est égal au produit de ce plus grand diviseur commun par la somme des quotients de chacun des termes par ce diviseur.
Voici l'exemple de la factorisation de 5, x, squared, plus, 10, x où le plus grand diviseur commun des deux termes est start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99 :
5, x, squared, plus, 10, x, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, start fraction, 5, x, squared, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, 10, x, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

Le facteur commun est-il obligatoirement de la forme a, x, start superscript, n, end superscript ?

La réponse est non !
Par exemple, soit le polynôme x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Le facteur start color #0c7f99, 2, x, minus, 1, end color #0c7f99 est commun aux deux termes. On peut utiliser la distributivité de la multiplication sur l'addition :
x, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, minus, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99, right parenthesis

À vous !

Exercice 5
Factoriser au maximum ce polynôme :
2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals

Pour récapituler

On a utilisé le verbe "factoriser" ou l'expression "mettre en facteur" dans trois cas différents.
  • Si l'expression est un produit, cela signifie l'écrire sous forme d'un autre produit. Par exemple, 12, x, squared, equals, 4, x, ×, 3, x.
  • Dans le cas d'une somme de deux ou plusieurs termes, la factoriser peut signifier l'écrire sous la forme du produit du plus grand diviseur commun de ses termes par une autre somme. Par exemple, 2, x, cubed, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 6, right parenthesis.
  • Mais ce peut signifier aussi l'écrire sous la forme du produit d'un binôme par un autre polynôme. Par exemple :
x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, plus, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis
Dans tous les cas, factoriser signifie écrire sous la forme d'un produit de deux ou plusieurs facteurs.

Un dernier exercice

Exercice 6
Factoriser au maximum ce polynôme :
12, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript, minus, 30, x, start superscript, 4, end superscript, y, squared, equals

Exercice 7
On divise un grand rectangle d'aire 14, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 6, x, squared en deux plus petits rectangles d'aires 14, x, start superscript, 4, end superscript et 6, x, squared.
La largeur du rectangle est le plus grand diviseur commun de 14, x, start superscript, 4, end superscript et 6, x, squared.
Quelles sont les dimensions du grand rectangle ?
l, equals
start text, L, end text, equals