Nombres relatifs : addition et soustraction FAQ

On ne sait pas vraiment quand et où on les nombres négatifs ont été introduits car différentes civilisations les auraient développé indépendamment les unes des autres, de plus, les preuves historiques sont incomplètes, ambiguës ou contestées. Voici toutefois quelques événements marquants dans l'histoire des nombres négatifs.

Il semblerait que les premiers à avoir utilisé des quantités négatives soient les chinois. Le « Jiuzhang suanshu » traduit par les « Neuf chapitres sur l’art du calcul » est un ouvrage chinois datant du $2^{\text{e}}$‍ siècle avant JC. Il est composé de nombreux problèmes ayant pour but de fournir des méthodes pour résoudre des problèmes quotidiens : gains et dettes sont représentés par des baguettes rouges (quantités positives) et noires (quantités négatives). L'ouvrage explique et enseigne aussi l’arithmétique liée à ces baguettes de calcul (addition, soustraction, multiplication, division et même racine carrée).

On attribue le plus souvent la découverte des nombres négatifs au mathématicien indien Brahmagupta ($7^{\text{e}}$‍ siècle). Il fut l'un des premiers à traiter explicitement les nombres négatifs comme des nombres à part entière et à donner des règles arithmétiques, y compris le fait que le produit de deux nombres négatifs soit positif. Il a également utilisé les nombres négatifs pour représenter les solutions d'équations du second degré et pour indiquer la direction du mouvement des corps célestes. Cependant, il n'acceptait pas les nombres négatifs comme coefficients possibles dans les équations et considérait le zéro et les nombres négatifs comme des non-nombres ou des vides dans certains contextes.

La droite graduée est un outil visuel très utile pour faire des opérations avec les nombres négatifs. Sur la droite graduée, si on ajoute à un nombre un nombre négatif, on se déplace vers la gauche de ce nombre et si on ajoute à un nombre un nombre positif, on se déplace vers la droite de ce nombre. Pour la soustraction, le déplacement se fait dans le sens opposé ! La somme ou la différence correspond au nombre final atteint sur la droite numérique.

On utilise aussi la droite graduée pour effectuer une soustraction. La distance entre deux nombres est alors la valeur absolue de leur différence. Par exemple, si on place $-7$‍ et $-9$‍ sur la droite graduée, on voit que $2$‍ unités les séparent, donc$|-7-(-9)|=2$‍.

À vous ! Additionner ou soustraire en utilisant la droite graduée 1.

Nous mettons des fois les nombres négatifs entre parenthèses dans des additions ou des soustractions pour éviter des erreurs de signe ou d'opération.

Par exemple, si on veut soustraire $-2$‍ à $5$‍, on peut écrire $5-(-2)$‍. En mettant $-2$‍ entre parenthèses, on voit qu'on soustrait un nombre négatif à $5$‍ : on soustrait $-2$‍ et non $2$‍.

Cela est particulièrement utile lorsqu'il y a plus d'un nombre négatif dans une expression. Par exemple, si on veut soustraire $-2$‍ à $-7$‍, on peut écrire $-7-(-2)$‍. Là encore, les parenthèses nous permettent de voir que nous soustrayons un nombre négatif, la différence sera donc plus grande que $-7$‍.

Pour résumer, les parenthèses nous aident à éviter les erreurs et à rendre les calculs plus compréhensifs.

L'addition est commutative : on peut changer l'ordre des termes de l'addition, la somme reste la même. L'addition est associative : on peut regrouper différemment les termes sans changer la somme. On peut donc regrouper certains termes entre eux pour additionner plus facilement.

On rappelle que la soustraction n'est pas commutative :

Jusqu'à présent, nous étions coincés pour simplifier des expressions avec des soustractions telles que $-8a+2b-5a$‍.

L'avantage de travailler avec des nombres négatifs est que nous pouvons réécrire toute soustraction comme une addition du nombre opposé. Maintenant qu'il n'y a plus que des additions, nous pouvons changer l'ordre des termes !

Remarquez que le signe moins est associé à la variable au lieu de symboliser une soustraction.

Écrire une soustraction comme l'addition d'un nombre négatif nous permet aussi d'appliquer la propriété d'associativité. Nous ne sommes plus obligés d'effectuer les opérations de gauche à droite mais on peut regrouper des termes pour rendre le calcul plus facile.

Avec de l'entraînement, on n'aura plus besoin d'écrire la transformation de la soustraction en une addition et on pourra additionner mentalement.

À vous ! Appliquer les propriétés de l'addition.