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Cours : Cycle 4 > Chapitre 2

Leçon 1: L'ordre des opérations

Priorités de calcul avec des nombres rationnels

Approfondissons les priorités de calcul en introduisant la valeur absolue, les nombres négatifs, les fractions inverses. Peut-on toujours appliquer la commutativité de l'addition ou la distributivité ?

Révisions sur les priorités de calcul

Lorsqu'une expression comporte de nombreuses opérations, il faut se mettre d'accord sur celles qui doivent être effectuées en premier afin de tous obtenir le même résultat. Les règles de priorités opératoires permettent d'écrire des calculs plus rapidement et plus simplement qu'en utilisant uniquement des parenthèses.

Les priorités opératoires sont assez intuitives : comme la multiplication est une addition répétée, nous effectuons les multiplications avant les additions. De même, comme élever un nombre à une puissance consiste à le multiplier par lui-même un certain nombre de fois, nous élevons à la puissance avant de multiplier.

Symboles de regroupement : On calcule en premier les opérations à l'intérieur de ces symboles, tels que les crochets, les parenthèses, la barre de fraction ou la notation de la valeur absolue.
Puissances : On calcule ensuite les puissances. En tant qu'opération inverse, les racines n-ièmes s'effectuent aussi à ce stade.
Multiplication : Ensuite, on multiplie et on divise puisque la division est l'opération inverse de la multiplication.
Addition : La dernière opération à effectuer. La soustraction étant l'opération inverse de l'addition, elle est aussi la dernière opération.

Le saviez-vous ? Il existe des opérations qui permettent d'augmenter les nombres beaucoup plus rapidement que les puissances. L'une d'elles, appelée factorielle, intervient dans le dénombrement en probabilités.

Connaissez-vous une opération pour laquelle l'augmentation d'un nombre est beaucoup plus lente que pour l'addition

?

Faites-nous en part dans les commentaires.

Élever un nombre négatif à une puissance

Comment les signes moins s'intègrent-ils dans l'ordre des opérations

?

Dans l'expression

- 4^{2}

, doit-on calculer

4

au carré puis prendre l'opposé ou doit-on calculer

- 4

au carré

?

Le signe moins signifie que nous devons prendre l'opposé d'un nombre. Cela revient à multiplier le nombre par

- 1

. Prendre l'opposé d'un nombre a donc le même ordre de priorité que la multiplication et la division.

Calculons

(- 4)^{2}

- 4^{2}

\begin{aligned} (- 4)^{2} & = - 4 \times (- 4) \\ = 16 \end{aligned}

(- 4)^{2}

: on calcule

- 4

au carré.

\begin{aligned} - 4^{2} & = - (4 \times 4) \\ = - 16 \end{aligned}

- 4^{2}

: on calcule le carré de

4

puis on prend l'opposé du résultat en le multipliant par

- 1

Exercice 1.1

Appliquer la définition.

- 3^{4} =

Élever une fraction à une puissance

Rappelez-vous que la barre de fraction joue le rôle d'un symbole de regroupement. S'il n'y a pas de parenthèses, alors l'exposant est affecté au numérateur ou au dénominateur, et non à la fraction entière.

Par exemple, dans l'expression

{(\frac{3}{2})}^{4}

, la fraction est entre parenthèses. L'exposant

4

est à l'extérieur des parenthèses. On élève donc la fraction à la puissance

4

\begin{aligned} {(\frac{3}{2})}^{4} & = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \\ = \frac{81}{16} \end{aligned}

Par contre, dans l'expression

\frac{3^{4}}{2}

, il n'y a pas de parenthèses. Donc, on élève seulement le numérateur à la puissance

4

\begin{aligned} \frac{3^{4}}{2} & = \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{2} \\ = \frac{81}{2} \end{aligned}

Exercice 2.1

Appliquer la définition.

\frac{2}{7^{2}} =

Valeur absolue

On doit calculer l'expression suivante :

4 - 12 \times | - 7 \times - 11 - 100 |

. On sait que l'on doit multiplier avant de soustraire, mais quand la valeur absolue intervient-elle

?

La notation de la valeur absolue joue le même rôle que des parenthèses. On effectue donc d'abord les calculs dans les barres verticales symbolisant la valeur absolue et plus précisément

- 7 \times (- 11)

en premier. On obtient

77

, on lui soustrait

100

pour obtenir

- 23

dans la notation de la valeur absolue.

On prend ensuite la valeur absolue d'un nombre à la même étape que le calcul d'une puissance.

On prend la valeur absolue à la même étape que celle du calcul des puissances puisque, pour tout

x

réel :

| x | = \sqrt{x^{2}}

Le symbole

\sqrt{}

signifie que nous effectuons l'opération inverse de la puissance (on cherche la base). Lorsque l'exposant est un nombre pair, la puissance est toujours positive.

7^{2} = 49

(- 7)^{2} = 49

aussi. On ne sait pas si

49

est le résultat de

7

au carré ou de

(- 7)

au carré.

Donc,

\sqrt{7^{2}} = \sqrt{(- 7)^{2}} = \sqrt{49} = 7

C'est pourquoi

| 7 | = | - 7 | = 7

Le saviez-vous ? Il existe d'autres opérations qui sont effectuées à cette étape, car il s'agit des opérations inverses de l'élévation à la puissance, tout comme la soustraction est l'opération inverse de l'addition.

Exercice 3.1

Appliquer la définition.

4 - 12 \times | - 7 \times - 11 - 100 | =

Additionner et soustraire de gauche à droite $?$ ‍

Vous avez sans doute appris que, lorsqu'il n'y a que des additions et des soustractions, on effectue les opérations de la gauche vers la droite. Cependant, on nous demande parfois de calculer astucieusement une suite d'additions et de soustractions en regroupant les termes. Comment faire

?

On écrit

- 4 + 6 - 3 + 1

autrement.

- 4 + 6 - 3 + 1 = \underset{terme}{\underset{⏟}{- 4}} + \underset{terme}{\underset{⏟}{6}} + (\underset{terme}{\underset{⏟}{- 3}}) + \underset{terme}{\underset{⏟}{1}}

Maintenant qu'il n'y a plus que des additions, on peut changer l'ordre des termes !

Une fois que vous aurez bien en tête que soustraire, c'est ajouter l'opposé, vous ne serez plus obligé de passer par cette étape où l'on écrit toutes les additions.

\underset{terme}{\underset{⏟}{- 4}} + \underset{terme}{\underset{⏟}{6}} \underset{terme}{\underset{⏟}{- 3}} + \underset{terme}{\underset{⏟}{1}}

Chaque fois qu'on rencontre un signe

+

-

qui n'est pas entre parenthèses, on a affaire à un nouveau terme. Le signe

-

reste avec son terme. On peut alors changer l'ordre des termes et les regrouper pour faciliter le calcul.

\begin{aligned} - 4 + 6 - 3 + 1 & = 6 + 1 - 3 - 4 \\ = (6 + 1) + (- 3 - 4) \\ = 7 + (- 7) \end{aligned}

Exercice 4.1

Quelles sont les $2$ ‍ propositions égales à $- 0, 25 + (- 8) - 13 + 0, 7$ ‍ $?$ ‍

Multiplier et diviser de gauche à droite $?$ ‍

L'inverse d'un nombre est le nombre de groupes de ce nombre que nous pouvons faire pour obtenir

1

. L'avantage de l'inverse d'un nombre est que l'on peut réécrire la division d'un nombre comme la multiplication par son inverse.

\underset{taille d’un groupe}{\underset{⏟}{nombre}} \times \underset{nombre de groupes}{\underset{⏟}{inverse de ce nombre}} = \underset{total}{\underset{⏟}{1}}

Ce qui peut s'écrire aussi :

\begin{aligned} \underset{total}{\underset{⏟}{1}} \div \underset{taille d’un groupe}{\underset{⏟}{nombre}} & = \underset{nombre de groupes}{\underset{⏟}{inverse de ce nombre}} \\ 1 \div n & = \frac{1}{n} \end{aligned}

Ensuite, on multiplie les deux membres par un même nombre,

m

et on simplifie.

\begin{aligned} m \times 1 \div n & = m \times \frac{1}{n} \\ m \div n & = m \times \frac{1}{n} \end{aligned}

Donc, pour tout nombre différent de

0

, diviser par ce nombre revient à mulitplier par l'inverse de ce nombre.

Voici quelques exemples :

$8 \div 6 = 8 \times \frac{1}{6}$ ‍
$\frac{3}{7} \div \frac{6}{11} = \frac{3}{7} \times \frac{11}{6}$ ‍
$\begin{aligned} 11 \div 0, 25 & = 11 \div \frac{1}{4} \\ = 11 \times 4 \end{aligned}$ ‍

On peut alors inverser les facteurs et les regrouper pour faciliter les calculs !

On écrit

3 \div 8 \times - 24

autrement.

\begin{aligned} 3 \div 8 \times (- 24) & = 3 \times \frac{1}{8} \times (- 24) \\ = 3 \times (- 24) \times \frac{1}{8} \\ = 3 \times (- 24 \times \frac{1}{8}) \\ = 3 \times (- 24 \div 8) \end{aligned}

Comme avec l'addition et la soustraction, nous pouvons nous passer de cette étape avec de l'entraînement et écrire directement :

\underset{facteur}{\underset{⏟}{3}} \underset{facteur \frac{1}{8}}{\underset{⏟}{\div 8}} \times \underset{facteur}{\underset{⏟}{(- 24)}} = 3 \times (- 24) \div 8

Une expression ne peut pas commencer par le symbole

\div

. Si nous voulons écrire la division au début de l'expression, nous devons donc écrire le facteur en utilisant son inverse.

\underset{facteur}{\underset{⏟}{3}} \underset{facteur \frac{1}{8}}{\underset{⏟}{\div 8}} \times \underset{facteur}{\underset{⏟}{- 24}} = \frac{1}{8} \times 3 \times - 24

Attention, nous ne pouvons pas associer un facteur à un autre terme. À chaque fois que nous voyons un symbole

+

-

qui n'est pas à l'intérieur d'un symbole de regroupement, cela nous indique que c'est le début d'un nouveau terme. Par exemple, l'expression

10 \times 2 - 5

2

termes :

10 \times 2

- 5

\begin{aligned} 10 \times 2 - 5 & \neq 10 - 5 \times 2 \\ 20 - 5 & \neq 10 - 10 \\ 15 & \neq 0 \end{aligned}

Exercice 5,1

Quelles sont les $2$ ‍ propositions égales à $\frac{3}{4} \div \frac{8}{5} \div 6$ ‍ $?$ ‍

Opérations prioritaires et suppression des parenthèses

Rappelez-vous que la propriété de distributivité permet d'écrire des expressions égales à celles qui contiennent des sommes entre parenthèses, et des multiplications. Ainsi, nous obtenons le même résultat si on supprime d'abord les parenthèses (on distribue) ou si on effectue d'abord les calculs dans les parenthèses.

Essayons ensemble.

\begin{aligned} 12 + (- 7) - (- 20 + 5) \\ = & 12 + (- 7) - (- 15) & on effectue l’opération entre parenthèses. \\ = & 12 + (- 7) + 15 & on multiplie - 15 par - 1 . \\ = & 20 & on additionne. \end{aligned}

Maintenant, on distribue d'abord le facteur

- 1

sur chacun des termes.

\begin{aligned} 12 + (- 7) - (- 20 + 5) \\ = & 12 + (- 7) + 20 - 5 & on distribue - 1 . \\ = & 20 & on additionne. \end{aligned}

Nous obtenons le même résultat dans les deux cas.

La distributivité ne s'applique pas pour tous les symboles de regroupement, uniquement pour les parenthèses, signifiant implicitement une multiplication.

\begin{aligned} - 7 | 3 - 4 | & \neq | - 7 (3) + (- 7) (- 4) | \\ - 7 & \neq 7 \end{aligned}

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