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La moyenne vue comme le point d'équilibre

Découvrir pourquoi la moyenne peut s'interpréter comme le point d’équilibre d’une série statistique.
Vous avez appris à calculer la moyenne d'une série statistique en divisant la somme des valeurs par leur nombre. Dans cette leçon, la moyenne est vue comme "le point d’équilibre".

Partie 1 : Deux exemples très simples

Quelle est la moyenne de la série statistique : left brace, 5, comma, 7, right brace, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Quelle est la moyenne de la série statistique : left brace, 5, comma, 6, comma, 7, right brace, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Dans ces deux premiers exemples, la moyenne est « évidente » car dans chacun des cas les valeurs de la série sont « à égale distance » de la moyenne 6. Voici trois autres exercices où l'on peut déterminer la moyenne sans passer par la formule, mais simplement en trouvant un nombre qui est à égale distance de toutes les valeurs de la série qui lui sont inférieures et de toutes celles qui lui sont supérieures.
Quelle est la moyenne de la série statistique : left brace, 1, comma, 3, comma, 5, right brace, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

1 et 5 sont à "égale distance" de 3 :
Quelle est la moyenne de la série statistique : left brace, 4, comma, 7, comma, 10, right brace, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Voici un cas où la moyenne est moins "évidente" :
Quelle est la moyenne de la série statistique : left brace, 2, comma, 3, comma, 5, comma, 6, right brace, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Partie 2 : Une nouvelle façon de voir la moyenne

Donc d'après ce qui précède, il est possible de déterminer la moyenne d'une série statistique sans utiliser la formule.
Idée clé : Dire que la moyenne d'une série est le point d'équilibre est une façon de dire que la somme de ses écarts aux valeurs de la série qui lui sont supérieures est égale à la somme de ses écarts aux valeurs de la série qui lui sont inférieures.

Exemple

La moyenne de la série statistique left brace, 2, comma, 3, comma, 5, comma, 6, right brace est start color #e07d10, 4, end color #e07d10. La somme des écarts entre 4 et les valeurs de la série inférieures à 4 est égale à la somme des écarts entre 4 et les valeurs de la série supérieures à 4 : start color #e84d39, 1, end color #e84d39, plus, start color #e84d39, 2, end color #e84d39, equals, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, 2, end color #1fab54

Questions

Quelle est la somme des écarts entre la moyenne de la série et les valeurs de la série start color #e84d39, start text, i, n, f, e, with, \', on top, r, i, e, u, r, e, s, end text, end color #e84d39 à la moyenne ?
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Quelle est la somme des écarts entre la moyenne de la série et les valeurs de la série start color #1fab54, start text, s, u, p, e, with, \', on top, r, i, e, u, r, e, s, end text, end color #1fab54 à la moyenne ?
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Partie 3 : La moyenne est-elle toujours le point d'équilibre ?

Oui ! La somme des écarts entre la moyenne start overline, x, end overline et les valeurs supérieures à start overline, x, end overline est toujours égale à la somme des écarts entre la moyenne start overline, x, end overline et les valeurs inférieures à start overline, x, end overline.
Par exemple, soit la série statistique : left brace, 2, comma, 3, comma, 6, comma, 9, right brace.
La moyenne de cette série est :
start fraction, 2, plus, 3, plus, 6, plus, 9, divided by, 4, end fraction, equals, start color #e07d10, 5, end color #e07d10
La somme des écarts entre 5 et les valeurs inférieures à 5 est égale à la somme des écarts entre la moyenne 5 et les valeurs supérieures à 5 : start color #e84d39, 2, end color #e84d39, plus, start color #e84d39, 3, end color #e84d39, equals, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54

Partie 4 : À vous

Exercice 1

Ci-dessous le diagramme à points d'une série statistique. Quelle est la moyenne de cette série ?
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Exercice 2

Ci-dessous le diagramme à points d'une série statistique. Quelle est la moyenne de cette série ?
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Un dernier exercice

Une série statistique comporte quatre valeurs. Trois de ces valeurs sont 4, comma, 7 et 7. La moyenne de cette série est égale à 5. On désigne par x la valeur inconnue.
Quelle est la valeur de x ?
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  • duskpin seed style l'avatar de l’utilisateur Frédéric ASDRUBAL
    Je n'ai pas compris
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • scuttlebug yellow style l'avatar de l’utilisateur Wombat mal léché
      Bonjour!
      Pour prendre la moyenne d'une série statistique, on additionne toutes les valeurs, puis on divise par le nombre de valeurs. Dans ce document, on montre une manière différente de concevoir la moyenne, en disant que la somme de ses écarts avec les valeurs inférieures est égale à la somme de ses écart avec ses valeurs supérieures. Par exemple, si on prend cette série statistique : {4-7-9-15}. On calcule la moyenne: 4+5+7+16/ 4 = 8. (j'ai divisé par 4 car c'est le nombre de termes dans la série.) 8 est la moyenne de cette série. Maintenant, on regarde la différence entre la moyenne et les différentes valeurs de la série. Commençons par les valeurs plus petites que la moyenne. La différence entre 8 et 4 se calcule en faisant 8-4 =4. Puis avec la valeur suivante : 8-5 = 3. On continue: 8-7=1. On a calculé la différence entre la moyenne(8) et les différentes valeurs inférieures à cette dernière (4, 5 et 7). On aditionne les résultats obtenus: 4+3+1=8. Maintenant, faisons la même chose avec les valeurs plus grandes que la moyenne. Il n'y en a qu'une: 16. 16-8=8. On voit que les deux résultats sont égaux. Et cela marche avec toutes les séries statistiques, le document en donne plusieurs exemple.
      J'espère vous avoir aidé!
      (1 vote)
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