Équations exactes : Exemple 3

nous revoilà parti pour quelques nouveaux exemples d'équations différentielles exact on a ici 3x au carré - 2 x y plus de fois dx +6 y au carré - x au carré plus trois fois d y est égal à zéro mais alors là tu remarques qu'on n'a pas ici le type d'équations qui nous intéresse quel est le type d'équations qui nous intéresse d'ailleurs on veut une équation du type une fonction de x et de y plus une autre fonction de x et de y poids la dérive et de y par rapport à x est égal à zéro on n'en est pas loin mais ce n'est pas tout à fait ça alors comment est ce qu'on va pouvoir obtenir cette forme là eh bien on va tout simplement divisé de chaque côté de cette équation par des x on obtient 3 x au carré - 2 x y plus de fois des x / dx il ne reste plus qu'un +6 y au carré - x au carré plus trois fois d y / dx et de l'autre côté on à 0 / dx c'est toujours 0 et ça y est on a maintenant une forme avec laquelle on va pouvoir travailler on va commencer par déterminer si cette équation différentielle est exact d'abord quelle est la dérivées partielles de m par rapport à y m c'est cette fonction-là la dérivées partielles de m par rapport à hirak c'est ce terme la c-zéro ensuite ici - 2 x la dérive est de 2 par rapport à y c zéro quel est maintenant là dérivées partielles de haine cette expression là par rapport à x c'est égal à moins de x donc là dérivées partielles de m par rapport à y est égale à la dérive et partielle de haine par rapport à x ce qui veut dire qu'on est dans le cas d'une équation différentielle exact on sait donc qu'il existe une fonction psy tels que la dérivées partielles de cette fonction si par rapport à x est égal à m à cette expression là c'est à dire 3 x au carré - 2 x y plus de haies et on va se servir de ça pour déterminer si on cherche la primitive de chaque côté de cette expression là par rapport à x ça ne donne ci est égal à x occupent moins x au carré y plus 2x plus une fonction de yh2 y on sait que psy est une fonction de x et de y donc quand on fait la dérivées partielles de psy par rapport à x si on a une fonction uniquement de y elle disparaît d'où cette fonction h2y pour déterminer h2y ont fait la dérivées partielles de psy par rapport à y c'est égal à moins x au carré plus h prime de y et ça c'est égal à la fonction n à savoir 6 y au carré - x au carré +3 et on n'a plus qu'à résoudre pour h prime de y si on ajoute x au carré de chaque côté on élimine c'est moins x au carré et une nourrice h prime de y est égale à six y au carré +3 h2y c'est la primitive 2h prime de y qui est égal à 2 y occupe +3 y est on pourrait ajouter une constante mais on va inclure cette constante dans la constante de la fin donc on n'a pas à s'en occuper ici et maintenant on peut réécrire si si qui est une fonction de x et y est égal à x au que - x au carré y plus 2x plus cette fonction hd y convient de trouver deux y cube plus 3 y est avant d'aller plus loin pour que tu comprennes bien ce qu'on est en train de faire on va déterminer la dérive et total de 6 par rapport à x la dérive et total de psy qui est une fonction de x et de y par rapport à x c'est égal à 3 x au carré ce terme ici est le produit de deux fonctions on a donc alors j'écris - ici et je développe dans la parenthèse la dérivée de la première fonction fois la deuxième fonction plus la première fonction x carré fois la dérivée de la deuxième fonction ensuite c'est facile plus de plus et alors là on doit utiliser nos connaissances sur la dérivation enchaîne c'est donc la dérive et de ce terme par rapport à y c6 y au carré fois la dérive et de y par rapport à x et même chose pour ce dernier terme c'est trois fois la dérive et de y par rapport à x alors on peut réarrangé tout ça on regroupant les termes sans d y sur des x on a 3 x au carré - 2 x y plus de plus alors je factories d y sur des x et ensuite on a moins x au carré +6 y au carré +3 et qu'est-ce qu'on a là eh bien oui c'est le membre de gauche de notre équation différentielle de départ qui était en gelée et crise à 3x au carré - 2 x y +2 +6 y au carré - x au carré +3 tout ça fouad et y sur dx est égal à zéro j'espère que ça te permet de savoir pourquoi est-ce qu'on peut réécrire cette équation différentielle comme alors je vais changer de couleur on peut réécrire cette équation différentielle comme la dérive et total rapport à x26 et d'une fonction de x et de y est égal à zéro parce que ça ici c'est la dérive et total de psy par rapport à x cse convient de trouver juste avant ici en intégrant de chaque côté ici on obtient la solution de notre équation différentielle de départ à savoir si 2x et de grec est égal à ces alors tu n'as pas à détailler tout ça à chaque fois je voulais juste que tu saisissent bien ce qu'on est en train de faire c'est à dire que la dérive est implicite en utilisant le théorème sur la dérivation de fonctions composé de 6 par rapport à x est bien égal aux membres de gauche de notre équation différentielle de départ et c'est comme ça qu'on sait que ses dérivés est égal à zéro alors ici on peut remplacer psy par son expression et on obtient x au cube - x au carré y + 2 x + 2 y occupe +3 y égal c'est et ça c'est la forme implicite de la solution de notre équation différentielle de départ et maintenant que tu es à l'aise avec les équations différentielles exact je te propose de découvrir dans la prochaine vidéo comment transformer une équation différentielle en une équation différentielle exact à l'aide de facteurs intégrant