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Intuition sur les équations différentielles exactes 1 (petite preuve)

Théorème de dérivation des fonctions composées sur des dérivés partielles (pas une preuve, plus de l'intuition). Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va aborder les équations différentielles exact les équations différentielles exact qu'ils sont juste une autre catégorie d'équations différentielles et avant de résoudre une équation différentielle exact on va étudier une des notions qui vont beaucoup nous servir disons qu'on a une fonction de x et de y la fonction si fonction de x et de y est on veut dérivés cette fonction par rapport à x sachant que y est aussi une fonction de x donc en fait on peut réécrire que ça c'est égal ap 6 2 x et 2 y 2 x pour dériver cette fonction psy par rapport à x on utilise le théorème des fonctions composé aussi connue comme la règle de dérivation enchaîne on a donc la dérive et total par rapport à x26 2x et de y qui est égale à la dérive et partielle de psy par rapport à x plus là dérivées partielles de psy par rapport à y fois la dérive et total de y par rapport à x j'espère que tu saisis déjà un petit peu l'intuition ici et pour que tu comprennes bien je vais développer tout ça imagine que la fonction 6 2 x et de y est égale à une fonction de xf1 2 x fois une fonction de y g12 y plus disons qu'on a plusieurs termes comme ça disons qu'on a m terne on va jusqu'à fn2 icsa énième fonction de x fois la énième fonction de y ça c'est juste une forme de psy qui n'est pas forcément toujours de cette forme là alors qu'elle est la dérive et de psy par rapport à x est bien ici on fait la dérivation implicite 2,6 par rapport à x alors la dérive du produit de deux fonctions ici c'est la dérivée de la première fonction f1 primes de x x la deuxième fonction gmt y plus la première fonction est fin de x fois la dérivée de la deuxième fonction par rapport à x sauf que ici la dérive et de g12 y par rapport à x c'est la dérive et de g1 par rapport à y fois d y sur dx la dérive et de y par rapport à x et tout ça ça vient du théorème sur la dérivation de fonctions composé que je t'invite à revoir si tu sens que c'est un peu trop loin dans ta mémoire et donc ce qu'on vient de faire ici en fait la dérive et par rapport à x de cette expression là et on a été remis comme ça donc on continue jusqu'au énième terne et la même méthode on a fn primes de x fois gm de y plus fn de xx x gn trim de y x et y sur des x l'or va essayer de réarranger tout ça si on réarrange tous les termes sans d y sur des x alors on a toujours la dérive et de psy par rapport à x qui est égale alors les termes sans d y sur des x on a f1 primes de x x g12 y plus f2 primes de x x g22 y et cetera et cetera jusqu'à fn primes de x x gn 2 y plus tous les termes où on a des y sur des x c'est-à-dire f1 de xx x j'ai un prime de y est donc je vais factoriser d y sur des x comme ça je décrirais une seule fois à la fin plus f-22 x fois j'ai de primes de y et caetera et caetera jusqu'à fn de xx x gn prime de y et toute cette expression fois tu es grec sur des x alors qu'est ce qu'on a ici qu'est ce que c'est que cette première partie ici c'est la dérive et partielle de psy par rapport à x c'est à dire on a utilisé la fonction g2 y comme une constante autrement dit on a fait comme si grecque n'était pas une fonction de x et donc on a fait comme si dans ce produit là on avait x que dans la fonction f 2 x toute cette somme ici c'est donc là dérivées partielles de psy par rapport à y même idée dans cette deuxième partie on a fait comme si les fonctions f 2 x était simplement une constante et on a fait la dérivées partielles de psy par rapport à y conte à x et y sur des x on a donc la dérive et de psy par rapport à x qui est égale à la dérive et partielle de psy par rapport à x plus là dérivées partielles de psy par rapport à y fois d y sur des x et c'est ce que je voulais te montrer dans cette vidéo d'après la règle de dérivation enchaîne la dérive et total par rapport à x d'une fonction psi 2 x et de y ou y est aussi une fonction de x est égale à la dérive et partielle des psys par rapport à x plus là dérivées partielles de psy par rapport à y fois d y sur dx la dérive et total de y par rapport à aix c'est y n'était pas une fonction de x alors d y sur des x serait égal à zéro et donc ce terme là serait égal à zéro aussi et donc la dérive et total de psy par rapport à x serait égal à la dérive et partielle de psy par rapport à aix et voilà je voudrais que tu gardes cette idée en tête et même si je n'étais pas proposer de preuve ici j'espère que tu as compris l'intuition puisqu'on va utiliser ça pour comprendre les équations différentielles exact