Intuition sur les équations différentielles exactes 2 (petite preuve)

dans la vidéo précédente on a introduit la notion de dérivation de fonctions composé our dérivation enchaîne avec des dérivées partielles si on a une fonction 6 2 x et de y ou y est aussi une fonction de x et si je veux la délivrer total par rapport à x de cette fonction psi 2 x et de y c'est égal à la dérive et partielle de psy par rapport à ix plus là dérivées partielles de psy par rapport à y fois la dérive et total de y par rapport à ips on va maintenant aborder une autre propriété des dérivées partielles et ensuite on sera prêt pour s'attaquer aux équations différentielles exact disons qu'on est là dérivées partielles de psy par rapport à x qu'est-ce qu'il se passe si je veux la dérive et par rapport à y de cette expression la dérive et par rapport à y te l'a dérivées partielles 2,6 par rapport à x on écrit ça comme la dérivée seconde de psy par rapport à x puis par rapport à y on peut aussi écrire ça comme la dérivée seconde de psy par rapport à aix puis par rapport à y ça veut dire qu'on fait là dérivées partielles 2,6 par rapport à aix d'abord puis la dérivées partielles de cette dérive et par rapport à y quand on fait la dérivées partielles de psy par rapport à x on considère y comme une constante et ensuite quand on dérive par rapport aux grecs on considère ensuite x comme une constante qu'est-ce qu'il se passe si on avait inversé l'ordre de dérivation c'est à dire si on avait commencé par faire la dérivées partielles de psy par rapport à y ait ensuite qu'on avait fait là dérivées partielles par rapport à x de cette dérive et là on note ça comme la dérivée seconde de psy par rapport à y puis par rapport à x ou encore comme la dérivée seconde de psy par rapport à y puis par rapport à haïti alors je sais que ça en brouille un peu d'avoir ici x en premier et ensuite y est y d'abord et ensuite x ici mais en fait il faut que tu vois ça comme ça ici on dit qu'on fait là dérivées partielles par rapport à x de la dérivées partielles 2,6 par rapport à y ait ici c'est plutôt on dit qu'on fait là dérivées partielles de psy par rapport à y puis par rapport à x et l'aide importante ici c'est que si ses dérivées partielles existent et sont continus et c'est le cas de la plupart des fonctions avec lesquels on travaille jusqu'à maintenant alors ces deux dérivés secondes sont est égal c'est le théorème de choix tu l'as dérivées partielles de psy par rapport à x puis par rapport à y est égale à la dérive et partiel 2 possible par rapport à y puis par rapport à x c'est le théorème de schwarz si ses dérivées partielles sont continue alors le résultat de la dérivation d'ordre paie ici de second ordre d'une fonction de plusieurs variables ici la fonction psy ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport au peu variable considérés ici nos deux variables x et y maintenant avec ces deux informations sur les dérivées partielles on est prêt pour s'attaquer à la résolution d'équations différentielles exact qu'ils sont simplement une catégorie d'équations différentielles alors à quoi ressemble une équation différentielle exact disons qu'on a une fonction de x et y ça peut être n'importe quoi la fonction m 2 x et de y plus une autre fonction de x et de y and x et de y x t y sur dx le taux égale à zéro la première chose à faire c'est quand même de vérifier si on n'est pas dans le cas d'une équation différentielle à variable séparables c'est à dire si on ne peut pas isoler les thermaux x d'un côté et les termes grecs de l'autre parce que c'est la catégorie d'équations différentielles la plus simple à résoudre si ce n'est pas possible mais que tu as quand même cette forme là alors tu peux te demander si on est ou non dans le cas d'une équation différentielle exact mais qu'est ce qu'une équation différentielle exact tu as peut-être déjà remarqué que cette expression ressemble beaucoup à celle là en effet peut-être que m est égal à la dérive et partielle de psy par rapport à xp peut-être que la dérive et partiale du psy par rapport à x c'est égal à m et peut-être que n est égale à la dérive et partielle de psy par rapport à y donc peut-être que la dérivées partielles de psy par rapport à y c'est égal 1 n alors on n'est pas sûr de ça on est juste en train de se demander si c'était le cas si c'était en effet le cas alors on pourrait écrire cette expression comme la dérive et partielle de psy par rapport à x plus là dérivées partielles de psy et par rapport à y x t y sur dx est égal à zéro et ce qu'on a là c'est bien la même chose que ce qu'on a ici c'est l'arrêt dérivés total de psy par rapport à x donc on pourrait encore réécrire que la dérive et total par rapport à x2 psi 2 x et y est égal à zéro donc si tu as une équation différentielle de ce type là mais qui n'est pas à variable séparables c'est peut-être une équation différentielle exact si c'est en effet une équation différentielle exact et je vais te montrer comment vérifier ça dans un instant alors on peut réécrire cette expression comme la dérive et total d'une fonction psy et ii x2 y par rapport à x ou ça c'est la dérive et partielle de psy par rapport à l'x et ça c'est la dérive et partielle de psy par rapport à y est en prenant la primitive de chaque côté on n'obtient que 6 x et y est égal à ces comme solution de cette équation différentielle mais alors comment est ce qu'on sait qu'on a ici une équation différentielle exacte et donc on peut résoudre de cette façon là eh bien on va se servir de ce théorème là rappelle toi on a dit que si ipsi et ses dérivés sont continue alors la dérivée seconde de psy par rapport à x puis par rapport à y est égale à la dérivée seconde de psy par rapport y puis par rapport à x et on a dit que ça assez peu être là dérivées partielles de psy par rapport à x et que ça c'est peut-être là dérivées partielles de psy par rapport à y donc si on est dans le cas d'une équation différentielle exact alors si on fait la dérivées partielles de psy par rapport à x puis par rapport à y donc là dérivées partielles de m par rapport à y est bien ça devrait être égal à la dérive et partielle de psy par rapport à y puis par rapport à x qui est égale à la dérive et partielle de haine par rapport à x donc on sait que si psy et ses dérivés sont continues alors ces deux dérivés sont égales et si ces deux dérivés sont aussi égale alors on est bien dans le cas d'une équation différentielle exact alors je veux reprendre un peu tout ça pour être sûr que tu es bien compris quand on a une expression du type m 2 x et du grec plus n 2 x et de y x t y sur les x est égal à zéro alors là dérivées partielles de m par rapport à y est égale à la dérive et partielle de haine par rapport à x si et seulement si on est dans le cas d'une équation différentielle exact alors j'écris ed pour abréger équations différentielles et donc il existe une fonction psi 2 x et de y tel que l'a dérivées partielles par rapport à x2 cette fonction psi 2 x et de y est égal à zéro et que psy 2x et de y est égal à ces et solutions de cette équation différentielle avec la dérivées partielles de psy par rapport à x qui est égal à m hélas dérivées partielles de psy par rapport à et grecque qui est égal à n et remarque que pour vérifier si on est dans le cas d'une équation différentielle exact on utilise les dérivés seconde croisés c'est à dire par rapport à x puis par rapport à y est par rapport à y puis par rapport à x et non deux fois par rapport à x ou deux fois par rapport à égal voilà j'espère que c'est à peu près clair pour toi et je t'attends dans les vidéos suivantes pour mettre en application tout ça