Introduction à la convolution

dans cette vidéo je vais te présenter le concept de convolution le concept de convolution et c'est une des premières fois où un mathématicien appel quelque chose de la même façon que ce qu'on fait vraiment puisqu'on fait la convolution de deux fonctions et dans cette vidéo je ne vais pas rentrer dans les détails de la convolution parce qu'il ya beaucoup de façons d'approcher sa et d'appliquer ça et tu sais si tu deviens un ingénieur que tu verras tout ça et tout le temps cette vidéo je veux juste faire en sorte que tu sois à l'aise avec cette idée est bien sûr plus particulièrement dans le contexte de la transformation de la place avant tout laisse moi tu expliquer ce qu'est une convolution on a deux fonctions de tf2 tsg de thé si je fais là convolution de f et g alors on note sa f étoiles g et on appelle ça aussi le produit de convolution donc ce produit de convolution c'est une fonction d'été et j'imagine que rien de tout ça n'était familier parce que je n'ai pas encore défini ça alors tu rencontreras sans doute plusieurs définitions mais la définition que je te propose dans ce contexte c'est l'intégrale de zéro à thé de la fonction eve de thé - tours poids j'ai deux taux des taux tu te demandes probablement comment est-ce qu'on peut calculer ça et ne t'inquiète pas on va tout de suite calculé un produit de convolution avec des vrais fonction et je t'avoue que ce n'était pas facile de trouver des fonctions dont on peut facilement calculer la convolution et tu vas voir qu'on va passer par beaucoup d'identité trigonométriques aujourd'hui tant qu'on a une fonction f de thé que l'on va définir comme égal à sinus de thé et la fonction g de thé qui est égal à caussinus de l'été et maintenant on veut calculer le produit de convolution de ses deux fonctions donc le produit de convolution de f et g qui est une fonction de tct gala et alors là je vais juste montrer comment appliquer certes intégral ici donc c'est l'intégrale de zéro t2f de témoins tôt alors fdt ses sinus de thé donc on a sinus de thé - tau x g2 tôt j'ai 2 tc caussinus de thé donc fois caussinus de taux des taux donc ça c'est l'intégrale maintenant pour la calculer on va utiliser nos connaissances de trigonométrie est en fait ce qu'on fait ici c'est juste un rappel sur l'intégration et la trigonométrie 1 et je tiens à ce qu'on calcule ça parce que je veux te montrer que ça ce n'est pas juste une notation abstraite mais qu'on peut en effet calculé ça alors comme ça je ne connais pas une primitif de ça c'est en temps on a sinus et caussinus peut-être que ce sont les dérivés l'une de l'autre mais ici on asinus de témoins tôt et en trigonométrie qu'est ce qu'on sait bien on sait que sinus de thé - tôt c'est égal alors c'est juste une identité trigonométriques c'est égal asinus de thé x caussinus de taux - sinus de tau x caussinus de l'été et si tu veux plus d'information là dessus tu peux regarder les vidéos sur la trigonométrie est donc maintenant on peut substituer ça dans notre intégral à la place de sinus de témoins tôt on a donc là convolution de f et g qui est égal à l'intégrale de zéro à thé alors maintenant au lieu des sinus de témoins tomates ou cette expression là donc sinus de thé x caussinus de taux - sinus de thau fois caussinus de thé le tout fois caussinus de thau d'étoilés ce mari vérifier si je me suis pas trompé dans les têtes hautes et otto t c'est bon on distribue caussinus de thé je veux un peu de place alors ça c'est égal à l'intégrale de zéro à thé et de sinus de tréfois caussinus de thau fois caussinus de toi oui pardon je me suis trompé et je voulais dire on distribue caussinus de tout tu vois je commence déjà m'embrouiller donc caussinus de thau fois kosmische de tose caussinus au carré deux taureaux ensuite ça c'est un taux emprunter moins sinueuses de taux alors fois caussinus de thé et fois kosmische de thau donc j'écris caussinus de thé en premier parce qu'ici on intègre par rapport à taux sinueuses du taux caussinus des taux et bien sûr tout ça par rapport à tout comme on à l'intégrale d'une différence ici on peut transformer ça en deux intégrales on a donc l'intégrale de zéro à thé de sinus de thé caussinus carré de taux des taux - l'intégrale de zéro à thé de cosinus de thé sinus de thau caussinus de taux des taux maintenant qu'est ce qu'on peut faire pour simplifier encore plus et bien comme on intègre par rapport à tous ici donc ce caussinus ce caussinus de thé ici et ce sinus de thé ce sont des constantes t pourrait être égale à 5 par exemple ça n'a pas d'importance même si l'une des bornes est égal à thé dans ce cas ce serait 5 on intègre par rapport à d'autres donc caussinus de thé c'est une constante on peut donc sortir ce terme de l'intégrale de la même façon on peut sortir sinus de thé de l'intégrale alors du coup cette intégrale va être égal à sinus de terrain on sort ça de l'intégrale fois l'intégrale de zéro à thé de cosinus au carré le taux des taux ensuite on a moins on sort caussinus de thé fois l'intégrale de zéro à thé de ce qui nous reste sinus de thau caussinus de taux dès tout cette intégrale ici est assez simple à résoudre mais je vais quand même prendre le temps de faire ça séparemment parce que là on est en train de résoudre un problème compliqué donc ce serait dommage de faire une erreur là dessus 1 donc on va faire un changement de variables on va dire que us est égal à sinus de taux et donc d u sur des tôles a dérivé de vue par rapport à tos et caussinus de tournai d'accord la dérive et de sinus c'est caussinus ou encore on peut écrire ça on a des qui est égal à caussinus deux tours des taux cette intégrale par contre est un peu plus énigmatique je sais pas comment calculer une primitive de cosinus au carré de tout du moins ça ne saute pas aux yeux et donc pour ça on va à nouveau faire appel à nos connaissances des identités trigonométriques on sait que caussinus au carré de taux c'est égal à 1/2 fois un plus caussinus de 2 to est encore une fois ça c'est juste une identité trigonométriques que tu trouvera probablement au début de ton livre d' analyse donc on peut substituer ça et ça dans notre intégral on a donc je descende encore un petit peu tout ça c'est égal à alors je réécris on cherche la convolution de f et g donc c'est égal à sinus de thé fois l'intégrale de zéro à thé de cette expression là ici on a un demi c'est une constante donc on peut aussi directement fait ressortir sa de l'intégrale on a donc un de mille fois sinus de thé un ce1 demi vient d'ici voile intégral 2 0 à thé de cette expression il reste comme l'on a sorti le 1/2 ici à ce qu'un plus caussinus de deux tours en plus caussinus de tout des taux donc ça c'est notre première expression je vais changer de couleur pour la 2eme expression à partir d'ici a ensuite on a moins caussinus de thé de l'intégrale de zéro à thé est donc juste pour être sûr que tu comprennes ça ça c'est l'intégrale de taux égal zéro à taux égal t1 ensuite on a fait notre changement de variable ici si huet et gallas et news de taux alors ici hein ici c'est une et donc on a dit que des u7 et gala caussinus de tdt donc ici en fait on a des eu donc ici on a eu des u a non pardon d uc caussinus de toad et opaque aux sinus de t d et es tu vois je me trompe ou encore un j'espère que tu suis bien parce que vous être bien vigilants là avec l'été les taux on s'embrouille facilement alors qu'est-ce qu'on fait ensuite cette intégrale est assez facile à calculer un alors d'abord les constantes que je vais écrire donc on était en bleu on a les constantes 1 2 bis fois sinus de thé et alors ensuite on cherche une primitif de ça donc une primitif de ça c'est tôt ensuite une primitif de cosinus de deux taux c'est plus un demi fois sinus de deux taux et alors on aurait pu faire un autre changement de variables en posant huet et gala caussinus du de taux mais si tu ne me crois pas et si tu peux t'amuser à dériver ça on a deux fois un demi donc un x caussinus de deux toi donc ça bien sûr pris entre 0 et et ensuite on a la deuxième partie - caussinus de thé et alors ici on à l'intégrale de 0 à td eut d une primitive de ça assez facile donc je vais faire ça sur le côté l'intégrale de vue des us et assurent deux fois eu au carré 1 mais c'était quoi déjà vu c'était quoi déjà eu c'était sinus de tous d'accord donc une primitive de ça c'est un demi fois sinus au carré de taux pris entre eux bien sûr 0 était en effet on n'avait pas besoin ici de faire ce changement de variables on avait on avait sinus fois caussinus à on a quand on a une fonction et sa dérive et on peut faire comme si à la place de cette fonction ici on avait x et une primitive de xc bien xo carrés sur deux et c'est ce qu'ont à la 1/2 fois sinus au carré de taux allez courage on s'approche de la fin alors on cherche les produits de convolution de sinus de thé et caussinus cité et on a alors ici on a un demi fois sinus de thé ensuite cette expression quand tout est égal à thé c'est donc t + 1/2 fois sinus de 2 t - cette expression quand taux est égal à zéro on a donc moins 0 - 1 2me fois sinus de alors sinus de deux fois 06 innus 2 0 on sait que sinus de 0 c zéro donc ça à ça vaut zéro et donc toute cette partie là se simplifie on a un demi fois sinus de thé et ensuite il nous reste que tu es + 1/2 fois sinus de 2 t ensuite comment peut-on simplifier cette deuxième partie alors on a je reprends ma couleur orange je vais continuer à la suite on a moins caussinus de thé fois cette expression quand taux est égal à thé donc un demi fois sinus au carré de thé - cette expression canto est égal à zéro quand taux est égal à zéro on a en demi il faut asinus au carré de 0 c zéro donc on s'arrête là et on peut continuer notre simplification enfin rappelle toi qu'est ce qu'on est en train de faire ici on cherche la convolution de f et je cherche le produit de convolution de f et g alors on distribue ici c'est égal à 1,2 me fois tu es fois sinus de thé faire attention à rien laisser de côté un + 1/2 fois en 2000 a fait un quart fois sinueuses de thé x sinus de 2 t ensuite on a moins un demi fois caussinus de thé x sinus au carré de terre et ça c'est un résultat acceptable mais je pense qu'on peut simplifier encore plus avec quelques petites manipulations trigonométriques on sait par exemple que alors une autre identité trigonométriques c'est sinus de 2t c'est égal à 2 fois sinus de thé x caussinus de thé on substitue ça ici un à la place de sinus de douter et qu'est ce qu'on obtient on obtient un demi fois tréfois sinus de thé plus un quart fois sinus de thé et là on remplace innus de doter par cette expression donc deux poids sinus de thé x caussinus de thé - 1/2 fois caussinus du thé sinus au carré tout était alors au moins sept prouve que tu n'as pas appris ces identités trigonométriques pour rien alors je vais déjà à m'occuper de ce terme là avant de réécrire toute cette expression ça m'évite de prendre trop de place donc ici on a un quart x 2 c'est un demi fois sinus de tréfois sinus de thé donc sinus au carré de tréfois caussinus de thé ici regarde ce qu'on a on a moins un demi fois caussinus de tréfois sinus au carré de thé donc par chance ces deux termes ça nul on a un demi fois aux sinus au carré de tréfois caussinus du thé - 1/2 fois sinus au carré de tréfois caussinus de thé il nous reste donc seulement 1,2 me flattez fois sinus 2t et voilà notre résultat vraiment simplifié alors juste je vais résumer tout ça parce qu'on a fait un bon travail donc ça vaut le coup de résumer tout ce qu'on a fait on est parti de deux fonctions f de tai chi est égal à si mu de thé et g de thé quitté gala caussinus d'été signer galles on vient juste de montrer avec beaucoup d'efforts que le produit de convolution de f et g qui est une fonction de tes n'est ce pas on la définit comme l'intégrale de zéro à t2f de thé - tôt fois j'ai deux taux des taux et donc ça c'est égal avec nos fonctions ici à l'intégrale de zéro à thé de sinus de thé - tau x caussinus de tout des taux et on vient de montrer que ça cette convolution ce truc qui nous a fait bien peur au début c'est en fait égal à 1,2 me flattez fois sinus tt est la seule raison pour laquelle on a fait travailler nos neurones comme ça en se rappelant des identités et trigonométriques c'était juste pour te montrer qu'on peut en effet calculé la convolution de deux vrais fonctions comme ça juste pas des fonctions abstraites des vrais fonctions et obtenir un résultat et le produit et de convolution de sinus de thé et de cosinus de thé c'est tout simplement un demi fois tu es fois sinus de thé j'espère que tu as compris l'idée de comment est-ce qu'on calcule un produit de convolution je te laisse maintenant réfléchir un petit peu à tout ça et je te retrouves dans la prochaine vidéo