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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va appliquer tout ce qu'on a appris pour résoudre une équation différentielle au lieu de juste déterminer les transformer de la place et inverse comme on a pu faire on va carrément résoudre un problème entier d'équations différentielles on à la dérivée seconde de y plus quatre fois la fonction et grecque qui est égal à sinus de thé - la fonction et cheveux longs unités et discontinue en deux pistes et dire la fonction et selon unité vos héros jusqu'à de pie et à partir de deux pays elle vaut 1 fois la fonction sinus de thé - 2 pi ca c'est la transe lattes et de la fonction sinus de thé avec les conditions initiales y 2 0 est égal à zéro et y prime 2 0 est aussi égale à zéro et on veut résoudre cette équation différentielle alors on peut en donner une interprétation tu peux voir ça comme une fonction de force appliquée à une masse ce terme ici c'est l'accélération la dérivée seconde par rapport au temps c'est l'accélération et la masse boeing puisque le coefficient et de vents y ce conte c'est un peu importe l'unité dont il est question et ensuite on a une fonction en fois une constante ça représente sa position et là c'est peut-être une constante associé à un ressort enfin pas plus là dessus on ne va pas perdre trop de temps sur l'interprétation mais plutôt sur la résolution on commence par chercher la transformer de la place de chaque côté de cette équation quelle est la transformer de la place de ce côté là d'abord transformé de la place de y seconde c'est juste et on a déjà bien vu ça paie au carré et fois la transformer de la place de y ensuite on diminue la puissance de thé donc - p x y 2-0 - y prime 2 0 et il est clair que là on va avoir besoin de nos conditions initiales ensuite on a plus quatre voies y donc la transformer de la place de ça assez +4 pour la transformer de la place de y c'est égal à alors qu elle l a transformé de la place de sinus de thé tu dois sans doute avoir ça en tête on a déjà bien fait ça l'a transformé de la place de sinus de thé c'est un sur p o car est plus un ensuite on a moins la transformer de la place de ce produit là alors là je pense qu'il va falloir qu'on fasse ça à part rappelle toi dans une des vidéos précédentes je t'ai montré que la transformer de la place de la fonction échelons unité qui devient en sait qui est une fonction de tes fois la fonction af de thé après translation de c'est donc la fonction f de thé - cé c'est égal à exponentielle de moins c'est x p x la transformer de la place de la fonction initiale avant translation fdt donc si on cherche la transformer de la place de ce produit là c'est ici c'est deux pays on est d'accord et f de thé et bien c'est juste sinus de thé d'accord donc la transformer de la place de ce produit ça va être égal à exponentielle de - 2 pi x p 1 puisqu'on a dit que c'est ici c'est 2 pie x la transformer de la place de f2 tait et on vient de dire que f 2 tc sinus de thé donc la transformer de la place de sinus de thé c1 sur p o car est plus sain et avec nos conditions initiales on peut déjà simplifier sa ces deux termes là ça nulle puisque y 2-0 ici pour 0 et y prime de 0 6 0 on peut encore simplifiée ça on peut factoriser les thermes ou la transformer de la place de y apparaît on a ici paix au carré fois la transformer de la place de y ait ici quatre fois la transformer de la place de y on a donc transformé de la place de greg fois ici on a peu au carré ici on n'a plus qu'à 4 donc paix au carré +4 c'est égal à alors qu'est-ce qu'on a là à droite on peut aussi simplifié mais je vais déjà écrire ça comme ça je veux pas brûler les étapes donc 1 / p o car est plus un - exponentielle de moins de pie x p sur pkr est plus un maintenant on veut isoler la transformer de la place de y donc on va diviser de chaque côté par paix au carré +4 on obtient je reprends ma couleur rose l'a transformé de la place de y est égal alors on peut mettre ces deux termes en un seul parce qu'ils sont sur le même dénominateur on a donc au numérateur en moins exponentielle de - 2 pi x p et au numérateur on a payé au carré +1 et bien sûr sa foi paix au carré +41 on divise de chaque côté par paix au carré +4 maintenant je suis sûr que tu l'a senti on s'approche du moment tant redouté pour déterminer y on va devoir déterminer la transformer de la place inverse de cette expression là mais comment est ce qu'on détermine cette transformé de la place inverse tu sais que c'est toujours la partie la plus délicate le moment où on doit bien se concentrer pour ne pas faire de fautes d'inattention on dirait ici qu'on va devoir décomposer ça en éléments simples alors pour nous simplifier la tâche on peut réécrire ça on peut séparer et le numérateur et le dénominateur on écrit en moins exponentielle de moins de pie x p puis pas terrible poids 1 / p o car est + 1 x p au carré +4 et donc pour simplifier cette fraction là on va devoir la décomposer en fractions partiel donc on veut simplifier un sur poker770 carré +4 et on veut pouvoir écrire ça comme la somme de deux fractions avec ici au dénominateur p o car est plus un et ici au dénominateur paix au carré +4 avec au numérateur qu'est ce qu'on veut ici on veut à x p + b et sur l'autre c'est x p plus d ça doit être au premier degré 1 parce que on a le second degré au dénominateur alors on additionne ces deux fractions et on obtient bien sûr on a tous le même dénominateur hong ap au carré + 1 x p au carré +4 et au numérateur qu'est ce qu'on a on a ce terme fois le dénominateur ici donc a à x p + b x p au carré +4 plus ce terme fois ce dénominateur donc c'est x p plus d le to x p o car est plus un on peut simplifier le numérateur si on distribue on a à x p au cube plus b x p au carré +4 à paix et je te conseille de bien surveiller les fautes d'inattention plus 4b ensuite on a plus alors j'écris ça volontairement en colonnes 1 pour que ce soit plus simple pour regrouper les termes après cp au cube plus des p o car est plus cp + d ensuite on additionne tout ça qu'est ce qu'on a ap occupe cp occupe ca plus c'est x p occupe ensuite les termes en paix au carré plus on avait plus d b plus des p o car est ensuite l'été à mon p 4 à plus et +4 à plus et op et ensuite les constantes plus 4b plus d alors rappelle toi tout ce qu'on a ici ce qu'on vient de développer c'est ce qu'on avait au numérateur ici donc en fait tout ça c'est sûr p au carré + 1 x p au carré +4 et bien sûr ça doit être égale à cette fraction l'a donc un sur p o car est plus un foie et au carré +4 à partir de là on a juste à comparer les deux numérateur puisque les dénominateurs sont les mêmes pour résoudre pour a b c et d de ce côté là je ne vois pas de paix occupe donc à plus et le coefficient de vamp et occupe de ce côté là doit être égale à zéro je me faire un petit peu de place on commence donc avec a plus et qui doit être égale à zéro ensuite bplus décès le coefficient de vamper au carré sauf qu'il n'ya pas non plus de paix au carré de ce côté là donc b plus des doit aussi être égale à 0,4 à plus et c'est le coefficient de vamper et encore une fois il n'ya pas de paix de l'autre côté donc quatre à plus c'est doit aussi être égal à zéro et enfin quatre baies et plus dé c'est la constante et cette fois on a bien une constante de l'autre côté donc qu'à des plus des doit être égal à 1 alors qu'est ce qu'on peut faire avec ça vient on soustrait cette deuxième équation à la première équation c'est pas très droit je vais refaire ça on soustrait à - 4 à 1 3 a ensuite c'est moins c'est ça s'annule c'est égal à zéro donc à est égal à zéro 6 ha est égal à zéro et que à plus et est égal à zéro donc c'est doit être aussi être égal à zéro on a déjà trouvé nos deux coefficient à et c'est maintenant ici même chose on soustrait cette deuxième équation à la première équation b - 4 d c'est moins 3 b des moins des 0 ça doit être égale à zéro moins en moins 20 ce qui veut dire que b doit être égal à 1 sur 3 6 b est égale à un tiers d égal à moimbé on a donc des qui est égal à - b et donc c'est égal à moins un tir et voilà nos deux derniers coefficient donc tout ça a bien fonctionné mais qu'est ce qu'on peut faire avec ça eh bien on peut réécrire cette fraction c'était notre but dès le début on voulait des composés cette fraction là en une somme de ces deux fractions l'a donc qu'est-ce qu'on a on a une première fraction sur p o car est plus sain et une deuxième traction sur paix au carré +4 ensuite au numérateur ici on a à x p plus béat c'était bien la zéro ds est égale à un tiers on a donc un tiers ici et ensuite au numérateur de l'autre côté on a ces x p plus des cct gallas héros et des c'est égal hamoir un tiers donc moi un tiers alors on en revient à notre problème de départ parce que quand on se laisse emporter la dent on en oublie presque quel jour on est qu'est-ce qu'on avait on était parti de la transformer de la place de y qui est égal à cette expression là et on a décomposé cette fraction là alors je vais essayer de me rappeler de ça on avait la transformer de la place de y qui est égal à 1 - exponentielle de - 2 pi x p voit ce qu'on vient de faire donc je vais écrire ça de façon un petit peu différente on a un tiers x 1 sur pkr est plus sain ensuite on a plus moins un tiers donc directement moins un tiers fois alors on fait comme on appelait au carré +4 ici j'aimerais bien avoir un deux au numérateur mais si j'ai deux au numérateur je dois diviser ce terme par deux donc on a un sur six ans ici je transforme le 3 en 6 fois donc deux sur poker770 outre remarqué j'ai fait ça pour faire apparaître ici la transformer de la place de sinus de 2 t alors qu'est ce qu'on peut faire à partir de là je te conseille de bien suivre ce que je fais un pour surveiller les fautes d'inattention on peut simplifier ça mais alors je te préviens tout de suite pour qu'il n'y ait pas surprise ça va rendre ça encore plus long puisqu'on va distribuer cette expression donc la transformer de la place de y c'est égal à alors je vais faire ça dans deux couleurs différentes à prendre du rose pour le à je distribue l'enap on a un tiers fois un sur poker770 m x 2 / p o car est plus 4 ensuite on a alors je change à nouveau de couleur cette fois je prends un du peloton - ont distribué moins exponentielle de moins de pie x p on a donc moi exponentielle de moins de pie x p sur trois fois en sueur puis au carré +1 ensuite moins par mois ça fait plus exponentielle de - 2 pi x p sur 6 x 2 sur pkr et +4 et à partir de là on peut facilement déterminer la transformer de la place inverse de tout ça alors on a l'a transformé de la place inverse de y c'est tout simplement y qui est égal à alors la transformer de la place inverse tout ça c'est juste un tiers voies sinueuses de thé puisqu'on a là on a l'a transformé de la place de sinus de thé moins un sixième fois cette fraction c'est la transformer de la place de sinus de doter donc on a un sur six fois sinus de 2 t ensuite on a presque la même chose sauf qu'on a exponentielle de moins de pie x p et c'est là qu'on doit se rappeler alors je vais écrire ça ici que la transformer de la place de la fonction échelons unités on va dire directement qu'il discontinuer depuis une fonction de tes fois la fonction eve de thé - deux pays s'étaient gala exponentielle de - 2 pi x p x la transformer de la place de fdt donc si on considère que fdt ses sinus de thé ou sinus de 2 t alors on a juste à faire la translation de ça et a multiplié sa part la fonction échelons unités pour obtenir la transformer de la place inverse pour être clair si on n'avait pas cette exponentielle ici et là on aurait là la même chose qu'on avait ici un tiers fois la transformer de la place de sinus de thé mais on a exponentielle de moins de pie x p ça veut dire que la transformer de la place inverse de ça c'est maintenant la transe la terre de ses fonctions au sinus de thé et sinueuse de dt fois la fonction échelons unités discontinue hand pis on a donc moins un tiers fois la fonction échelons unité qui devient un topic est une fonction de tes fois alors au lieu de sinus de t on à sinus de témoins depuis plus un sur six fois la fonction échelons unité qui se continue en depuis toujours une fonction de tes est alors attention ici cela c'est la transformer de la place de sinus de 2 t sauf qu'on remplace t par témoin de pire on a donc sinus de deux fois témoin 2 pi et ça y est on vient de résoudre notre équation différentielle alors j'ai pas l'impression qu'on puisse vraiment simplifié ça à part peut-être factoriser cette fonction est selon unité ici et ici un enfin je te propose de laisser ça comme ça parce que je trouve pas que ça apporte grand chose on a donc ici la fonction solution de notre équation différentielle de départ notre équation différentielle de départ qui doit être tout en haut je vais essayer de retrouver ça c'était cette équation là qui n'a pourtant pas l'air si compliqué ce qui nous a pas empêchés de passer par toutes ces étapes tordu de bien nous embrouiller pourtant pour arriver à la solution qui satisfait notre équation différentielle de départ et ces conditions initiales je te laisse te reposer et je te retrouves dans la prochaine vidéo