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Transformation de Laplace 2

Transformation de Laplace de e^at. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va continuer à calculer des transformations de la place pour que quand tu sera confronté aux tables de transformer de la place tu saches tout ça vient et pour que tu sois à l'aise avec les maths qui lie à derrière alors je vais commencer par écrire la définition de la transformation de la place qu'on a vu dans la vidéo précédente donc la transformer de la place d'une fonction f2 tct égal à l'intégrale impropre de 0 à + n'a fini alors justement un propre parce que l'une des bornes c'est l'infini et on a vu dans la vidéo précédente comment calculer ça donc l'intégrale impropre de 0 à + l'infini de exponentielle de moins p&t fois la fonction de tdt maintenant qu'on se rappelle de ça on va directement s'attaquer à un autre exemple on veut la transformer de la place de la fonction exponentielle de as tu es notre fonction de tes c'est exponentiel de hâter ensuite on a juste à substituer ce f de thé dans cette définition de la transformer de la place donc c'est égal à l'intégrale alors en plus tu vois c'est un bon entraînement aux calculs d'intégrale et particulièrement à l'intégration pas reparti presque tous les problèmes de transformation de la place se transforme en un problème d'intégration par partie enfin bref c'est égal à l'intégrale de 0 à + l'infini de exponentielle de moins p&t fois exponentielle de à tc notre fonction f2 tdt on peut simplifier en additionnant les exposants ici on a donc l'intégrale de 0 à + maffini de exponentielle de a - t tdt alors qu'elle est la primitive de cette expression c'est égal à 1 sur a - p alors notre variable ici c'était un donc ça c'est une constante c'est pour ça que ça peut sortir de l'intégrale os x exponentielle de à - ptt on va calculer ça entre 0 et plus l'infini alors j'aurais pu laisser ce terme ici entre les crochets mais en fait c'est juste une constants 1 a et b ne sont pas des fonctions de thé et donc ça c'est égal à 1 sur a - t alors quelle est la limite de cette expression quand tu es tend vers plus l'infini on a deux cas ici si à moins paix est positif donc si à moins paix est strictement supérieur à 0 que se passe-t-il quand tu es en verre plus l'infini cet exposé entend donc vers plus l'infini et donc tout ce terme d'anvers plus l'infini aussi et donc dans ce cas quand la limite d'une intégrale ne nous donne pas en nombre mais tend vers l'infini comme ici on dit que l'intégrale divergent et donc il n'y a pas de limite il n'y a pas de limite et donc dans ce cas s'est transformé de la place n'existe pas quant à - paix est strictement supérieur à zéro ou quant à est strictement supérieur ap7 transformé de la place n'existe pas maintenant le deuxième cas que se passe-t-il quand tu as moins paix est strictement inférieure à 0 que se passe-t-il quand à moi p est négatif on a ici exponentielle dans nombres négatifs fois l'infini ce qui tend donc vers zéro comme on a vu dans la vidéo précédente alors j'espère que tu comprends ça exponentielle d'un nombre qui tend vers l'infini tend vers l'infini et exponentielles d'un nombre qui tend vers moins l'infini d'anvers 0 donc quand tu as moins paix est strictement négatif ou quant à est strictement inférieure à p et c'est l'hypothèse que je vais faire ici et bien la limite de exponentielle de à - p fois tu es c'est 0-0 - 7 primitive quantité égale zéro donc quand égal zéro qu'est ce qu'on a ici cet exposé en devient 0 est exponentielle 2 0 c'est égal à 1 on a donc 0 - 1 il nous reste moins 1 / a - p ce qui est la même chose que 1 / p - a et voilà la deuxième transformé de la place de notre table c'est la transformer de la place de exponentielle de à thé c'est égal à 1 / p - a attention quand paix est strictement supérieur à 1 et donc voilà notre deuxième transformé de la place d'ailleurs on peut faire le lien avec la transformer de la place précédente rappelle toi quel était notre première transformé de la place dans la vidéo précédente on avait la transformer de la place de 1 est égal à 1 sur pézenas pas eh bien tu es d'accord que un c'est la même chose que exponentielle 2 0 donc on pourrait dire que c'est la transformer de la place de exponentielle 2 0t n'est ce pas et ça c'est égal à 1 / p d'ailleurs si tu te rappelles on avait posé la condition paix strictement supérieur à 0 si on fait cette même hypothèse ici c'est cohérent avec ce résultat là si on calcule la transformer de la place de exponentielle 2 0t on obtient 1 / p - 0 donc 1 / p et on doit faire l'hypothèse que paix est strictement supérieur à 0 est donc finalement ces deux transformations de la place se rejoignent et je trouve que c'est toujours sympa en mathématiques quand on résout des problèmes plutôt différent qui en fait se rejoignent allez je te retrouves dans la prochaine vidéo pour continuer à construire notre table des transformé de la place on va d'ailleurs continuer à faire ça pendant les quelques vidéos suivantes et ensuite te montrerai en quoi la transformation de la place est très utile pour résoudre tous types d'équations différentielles à bientôt