Transformée de Laplace de sin(at)

on va continuer à construire notre table des transformé de la place on va faire aujourd'hui une transformation très utile en fait jusqu'à maintenant on n'a fait que des transformations utile je te dirai quand elles ne sont plus très importante mais c'est aussi une transformation tordu il faut donc que je me concentre bien pour ne pas faire de fautes d'inattention on veut la transformer de la place de la fonction sinus d'une constante à foix t et notre définition de la transformation de la place nous dit que c'est égal à l'intégrale de 0 à + l'infinité exponentielle de - péter fois la fonction dont on cherche la transformer de la place c'est à dire ici sinus tu as tes d'été rappelle-toi la transformation de la place c'est juste une définition c'est juste un outil mais c'est un outil très utile on verra ça plus tard maintenant il faut aller chercher nos connaissances sur l'intégration par partie sauf qu il est en effet possible qu'on ne s'en rappelle pas tout le temps c'est mon cas d'ailleurs et dans ce cas il faut qu'on prouve sa à nouveau alors tu n'as pas à faire ça tout le temps par exemple si tu en examen c'est peut-être mieux si tu essayes de mémoriser ça avant mais rappelle toi toujours l'intégration par partie c'est la règle de dérivation d'un produit de fonctions mais à l'envers alors je vais faire ça dans ce coin ici disons qu'on a un produit de deux fonctions eu x v la dérive et de ce produit par rapport à t1 disons que on a ici deux fonctions de thé j'aurais pu écrire une de tes fois vais dicter bien cette dérive et c'est égal à à la dérive et de la première fonction eut pris mme x la deuxième fonction vais plus la première fonction une fois la dérivée de la deuxième fonction v prime maintenant si on intègre de chaque côté on a eu x v qui est égal à l'intégrale de une prime v alors par rapport à d'été bien sûr mais j'écris s'ajuste rapidement pour qu'on se rappelle de l'intégration par partie us l'intégrale de u10 prime maintenant on soustrait cette intégrale de chaque côté et on obtient l'intégrale du privé est égale à une fois v - l'intégrale du v primes et bien sûr on a là des fonctions de thé et puis ici on aurait dû avoir d'été ici aussi mais je prend des raccourcis juste pour qu'on se remette tout ça en tête assez rapidement donc il faut te rappeler que l'intégration par parti te dis que l'intégrale de la dérive et d'une fonction os x une autre fonction c'est égal au produit de ces deux fonctions - l'intégrale du contraire c'est à dire la fonction dont on avait dérivé ici fois la dérivée de la fonction qu'on a ici alors on va tout de suite appliqué sa pour résoudre cette transformation de la place on peut partir un peu comme on veux je te propose ici de choisir une prime qui est égal à exponentielle de - p t alors dans ce cas us et la primitive de ça c'est moins un sur p x exponentielle de moins p&t et donc tu l'aura deviné v ses sinus de à thé et donc v prime c'est à foix caussinus tu as tes tiens d'ailleurs juste pour alléger les notations on va appeler cette transformé de la place y est maintenant on est prêt pour réaliser notre intégration par partie donc il y alors y sait qu'on est en train de résoudre il si c'est la transformer de la place de sinus de hâter donc y c'est égal à une fois vécu c'est moins un sur pf au exponentielle de - péter x v sinus de à thé - l'intégrale alors quand on fait une intégration par partie on garde les mêmes bornes peu importe que ce soit une intégrale impropre ou pas on garde les mêmes bornes donc on a ici l'intégrale de 0 à + l'infini 2 une fois v prime uc - 1 / p x exponentielle de moins tu étais x v prime c'est à foix caussinus de hâter d'été et on a là une 2e intégral à rallonge ce qui veut dire qu'on va sans doute avoir besoin de faire une deuxième intégration par partie alors d'abord on va essayer de simplifier sa en sortant les constantes alors le premier terme ne bouge pas on a moins exponentielle de -1 pt sur p x sinus tu as tes et il y en a ici à foix - 1 / p x - 1 donc plus à surper fois l'intégrale de 0 à + maffini de exponentielle de -1 pt caussinus de la tdt maintenant deuxième intégration par parti alors je change de couleur pour cette deuxième intégration par partie même chose on a eu près mais on va dire que c'est exponentiel de moins tu étais donc pu c'est moins un sur pf au exponentielle de -1 pt wc caussinus tu as tes et donc des primes c'est moins à foix sinus de hâter puisque la dérive et de cosinus c'est moins sinus et bien sûr tu l'as remarqué le challenge ici c'est d'éviter les fautes d'inattention alors on a donc accroche-toi bien y est égal à - exponentielle de - péter sur p x sinus de à thé plus à sur paix et la deuxième intégration par partie une fois avait eu ben moi un sur p x exponentielle de moin té des x v caussinus tu as tes - l'intégrale de 0 à + l'infini une fois v prime donc moins un sur p exponentielle de - péter pouabé primes - à foix sinus de hâter donc le moins c'est nul avec celui ci on a donc à foix sinus tu as tes d'été et là on commence à voir la lumière au bout du tunnel bien sûr on va devoir déterminer la limite de tout ça quand tu es en verre plus l'infini mais pour l'instant on va se contenter de dire que y c'est la primitive et on s'occupera des bornes plus tard avant ça on peut simplifier alors y c'est égal à - exponentielle de moins tu étais sûr p x sinus de a été ensuite on distribue assure t on a donc moins à surper au carré exponentielle de - péter caussinus de à thé et là on distribue aussi à surpayer évidemment mais on sort les constantes on a donc un sur b a donc assure paix - assure péfau assure paix - à au carré sur paix au carré fois l'intégrale de exponentielle de - péter fois sinus de à tdt maintenant si tu as déjà fait de l'intégration par partie cette situation et familière regarde cette expression ici c'est la même chose que notre y de départ enfin pour l'instant on fait l'hypothèse qu'on va calculer la primitive et on s'occupera des bornes plus tard on aurait pu garder les bornes tout le temps mais ça n'aurait fait qu'alourdir encore plus nos notations donc on peut remplacer cette intégrale par y et pour ça je te donne rendez-vous dans la prochaine vidéo