Transformation de Laplace de t^n : L{t^n}

dans la vidéo précédente j'ai montré que la transformer de la place de t1 et tu peux aussi voir ça comme tu es à la puissance 1 c'est égal à 1 sur paix au carré avec l'hypothèse bien sûr que paix est strictement positif dans cette vidéo on va voir si on peut généraliser ça pour déterminer la transformer de la place de thé à la puissance n 7 x ou n est un anti est strictement supérieur à zéro donc avec elle strictement positif un antillais strictement positif et on sait d'après notre définition de la transformer de la place que la transformer de la place de thé à la puissance n c'est égal à l'intégrale de 0 à + l'infini de notre fonction ici c'était à la puissance n fois et ça ça fait partie de la définition de la transformer de la place fois exponentielle de - péter d'été est exactement comme quand on a calculé ça dans la vidéo précédente la première intuition c'est sans doute de dire et on devrait faire une intégration par partie comme je viens juste de rappeler l'intégration par partie dans la vidéo précédente je peux la réécrire de tête alors que c'est vrai que d'habitude je l'oubli l'intégration par partie nous dit que l'intégrale de u10 prime c'est égal une fois v - l'intégrale alors moi j'ai l'intégrale du contraire à l'intégrale de une prime v ça c'est la formule de l'intégration par partie et quand tu ne te rappelles pas tu peut en effet facilement la retrouver à partir de la règle de dérivation du produit de deux fonctions en à peu près 30 secondes exactement comme je lé fais dans la vidéo précédente mais c'est pas tout de se rappeler de cette formule il faut maintenant l'appliquer alors qu'est ce qu'on va choisir pour v prime c'est toujours bien de choisir la fonction exponentielle parce que on trouve facilement une primitive de cette fonction donc on va dire que ça c'est notre ve et primes dans ce cas v c'est une primitive de ça donc exponentielle de - péter / - paix on a déjà vu ça plein de fois en effet si on dérive ça on a moins payés sur - p ça fait 1 il nous reste bien exponentielle de -1 pt ensuite us et thé à la puissance c'est notre rue est donc une prime c'est la paix hybride ucn fois tu es à la puissance n - za et maintenant on est prêt pour l'intégration par partie ça c'est égal à une fois avait eu qu'est ce que c'est et on a trouvé on a dit que c'était à la puissance n et v c'est moins exponentielle 2 - péter / p je vais écrire ça comme ça - fois exponentielle - péter le tout sur paix est ça qu est ce que c est bien ça c'est une fois bien je vais encadrer pour que ce soit bien clair c'est eu x v eh bien ça assez pris entre 0 et plus infinie anges quand je te mets crochet ces prix entre 0 et plus l'infini ensuite on a moins l'intégrale de 0 à + 1 finit 2e prix mme x v alors une prime on a dit que ces haines fois tu es à la puissance n - 9 x v v encore une fois cette expression je vais directement sortir le moins qui s'annulent avec celui là ça devient plus ensuite un drap exponentielle de - péter sur pdt on peut simplifier un peu tout ça l'a transformé de la place de thé à la puissance n c'est égal à la limite de sa quantité est en verre plus l'infini - ça a pris à thé égal 0 alors quelle est la limite de cette expression quand tu es d'anvers plus l'infini quand tu es en verre plus on a fini ce terme-là - tu es à la puissance haine envers moins l'infini mais ce terme là est plus fort et quand tu es en verre plus l'infini on a un exposant ici qui tend vers moins l'infini et donc ce terme-là exponentielle de - péter tend vers zéro et ça tend vers zéro plus rapidement que ce terme ne tend vers moins l'infini donc la limite de cette expression en quantité est en verre plus l'infini on obtient 0 ensuite on a moi cette expression pour tes égal 0 on a donc moins 0 à la puissance n fois exponentielle de moi p x 0 / p et ça ça vaut aussi 0 donc ce terme prix entre 0 et plus infinie vaut zéro ce qui nous arrange bien ensuite on a ce deuxième terme alors on va commencer par faire sortir les constantes on na n et un sur paix qui sont des constantes c'est à dire ce ne sont pas des fonctions de thé on a donc plus n surper fois l'intégrale de 0 à + l'infini de thé à la puissance elle moins 1 fois exponentielle de - péter d'été maintenant ce dernier terme devrait te rappeler quelque chose à quoi est-ce que ça ça me fait penser et bien rappelle toi quelle est la définition de la transformer de la place la transformer de la place de n'importe quelle fonction disons à la fonction fdt c'est égal à l'intégrale de 0 à plus infinie de cette fonction donc f de tréfois exponentielle de - péter d'été qu est-ce qu on reconnaît ici on a bien exponentielle de - péter d'été on a aussi l'intégrale de 0 à + l'infini donc cette intégrale c'est en fait égal à la transformer de la place de cette fonction-là de thé à la puissance n - 1 donc avec ce terme qui devient 0 et cette découverte là on a vraiment bien simplifié les choses on a maintenant la transformer de la place de thé à la puissance n kiéthéga la haine sur p x la transformer de la place te tais à la puissance n - 1 maintenant avec cette belle simplification on peut déterminer la transformer de la place j'étais à la puissance de hunt de plus qu'ici mais ce n'est toujours pas une formule généralisée alors on va voir si on peut utiliser ce résultat avec le résultat qu'on a noté au tout début et la transformer 2 place du tai chi est égal à 1 sur paix au carré pour obtenir une formule générale alors je vais écrire ce premier résultat ici pour qu'on s'en rappelle on avait à transformer de la place de thé alors je vais écrire tes à la puissance 1 c'est bien tu es c'est la même chose qui est égal à 1 / p au carré et on avait fait comme hypothèse pays doit être strictement positif maintenant qu'est-ce qu'il se passe si on cherche la transformer de la place de thé au carré on peut utiliser cette formule juste au dessus c'est égal à haisnes surper donc 2 sur ps3 la transformer de la place de thé à la puissance n - donc tu es à la puissance 2 - dindon juste t on connaît ça c'est donc égale à 2 sur pc fois en sur pied au carré et ça c'est égal à 2 sur poker770 qu'il se passe quand on continue la transformer de la place de thé à la puissance 3 même chose on utilise cette formule ici on na n surper donc ici nc 3 3 sur pc fois la transformer de la place de thé à la puissance n - 1 donc tu es à la puissance 3 - 1 c'était au carré connais ça on vient de trouver sa juste avant c'est donc égal 3 / p soit ça d'ailleurs je vais garder ça comme ça et je vais écrire le numérateur d'abord on a x 2 x 1 / p / p au carré et ça c'est égal à alors au numérateur on peut écrire trois factorielle et au dénominateur on a paix à la puissance 4 on continue même si j'imagine que tu commence déjà à saisir l'idée l'a transformé de la place de thé à la puissance 4 c'est égal à 4 / p voilà transformé de la place de thé à la puissance 4 - 1 donc tu es à la puissance 3 c'est égal à 4 / p face à donc 4 sur ps3 3 factorielle / p la puissance 4 4 x 3 factorielle en fait 4 factorielle sur paie à l'appui 105 et donc voilà l'idée générale de la construction de la définition générale de la transformer de la place de thé à la puissance n évidemment on pourrait prouver sa part induction de manière un peu plus formelle mais avec ce qu'on a là on peut déjà écrire que la transformer de la place de thé à la puissance n segal à l factorielle sur tes à la puissance n + 1 on a prouvé sa dans le cas où n égale 1 1 ici on avait n égale à 1 donc on avait la transformer de la place de thé à la puissance à cet égard la haine factorielle donc un factorielle sur pea la puissance 1 + 1 et donc on sait que si c'est vrai pour tes à la puissance n moisins si c'est vrai pour ça alors ce sera aussi vrai pour tes à la puissance suivante c'est à dire tu es à la puissance n donc en effet la preuve par induction est presque évidente mais on remarque déjà cette construction avec ce qu'on a fait là donc si on voulait et la transformer de la place de thé à la puissance 10 bien sûr on pourrait continuer comme ça mais c'est quand même plus simple d'utiliser cette construction là donc voilà notre résultat qui va sans doute nous servir plus tard pour déterminer la transformer de la place de pauline oms et la transformer de la place de thé à la puissance à haisnes c'est égal à haisnes factorielle avec n1 antilles est strictement supérieur à zéro donc cet égard à haisnes factorielle sur pea la puissance n + 1 avec bien sûr p strictement positif ça c'était une hypothèse qu'on avait dû faire quand on a calculé une limite quand tu es tend vers plus l'infini voilà j'espère que tu as trouvé ça intéressant à bientôt