Exemples de transformation inverse de Laplace

on a déjà pas mal avancé sur la transformation de la place et je pense que c'est bien de faire un petit rappel sur tout ce qu'on a vu jusque là on commence par régler la question des notations on note la transformer de la place d'une fonction fdt c'est égal à une fonction grand f2p et dans la vidéo précédente on a vu que la transformer de la place de la fonction échelons unité qui devient un quantité est supérieur ou égal à ces dons qui est une fonction de tes fois la transe lattes et d'une fonction f de tdf de thé - cct gala exponentielle de moins c'est x p avec se sait qui est le même que celui ci est celui ci fois la transformer de la place de cette fonction juste au dessus et j'insiste ici pour que tu ne confondent pas s'être transformé de la place ici avec une autre propriété de la transformer de la place dont on a parlé dans une des vidéos précédentes qui est que la transformer de la place de exponentielle des athées fois la fonction fdt et je veux que tu fasses bien la différence ici là on a fait la translation horizontale de f2 t1 on a déplacé la fonction f de tai chi est devenu f2 témoin c est dans cette situation quand on multiplie f de thé par exponentielle de hâter ce qu'on fait en fait c'est qu'on déplace carrément la transformer de la place puisque on obtient f2p - ha au lieu de f2p et ces deux règles ici où ces deux propriétés ou peu importe comment tu veux les appeler sont très faciles à confondre donc on va faire quelques exercices où on devra bien réfléchir à laquelle on doit appliquer allez on continue notre rappelle la toute première chose qu'on a appris c'est la transformer de la place deux hommes justes de 1,7 égal à 1 / p et plus généralement on a vu que la transformer de la place de la fonction t à la puissance n avec n1 antilles est positif c'est égal à 1 factorielle sur pea la puissance n + 1 ensuite on a les fonctions trigonométriques donc la transformer de la place de sinus de à tct galles ha ha ha sur p o car est plus à au carré ensuite on a l'a transformé de la place de cosinus de hâter qui est égal ap / p o car est plus à au carré et ça va sans doute se surprendre de voir tout ce qu'on peut faire juste avec ce qu'on a là on va continuer d'agrandir notre boîte à outils mais juste ça ça va nous permettre de déterminer pas mal de transformer de la place et d'un verse de transformer de la place d'ailleurs on va essayer ça maintenant et en fait c'est ça la partie la plus difficile je pense que tu sais comment résoudre une équation différentielle si tu sais comment calculer une transformé de la place mais le plus difficile c'est de reconnaître ou d'inverser une transformé de la place on a l'a transformé de la place d'une fonction qui est égal à f2p c'est égal à 3 factorielle / p -2 à la puissance 4 et là tout de suite je dois te dire tiens il y à une factorielle ici au numérateur donc ça a forcément un lien avec ce qu'on a ici n'est ce pas si j'avais juste la transformer de la place de alors ici on a trois factorielle au numérateur et on a la puissance castres au dénominateur donc on dirait que est ni si ces trois donc si on avait la transformer de la place de thé à la puissance 3 7 devrait être égal à l factorielle 3 factorielle sur pea la puissance n + 1 taupe et à la puissance 4 sauf que ce qu'on a là ce n'est pas exactement la même chose on n'a pas exactement la même chose au dénominateur bien sûr je passe par cette étape pour aider à comprendre le cheminement mais je trouve que ce n'est pas inutile de toujours passer par cette étape là pour éviter les fautes d'inattention alors on voit bien qu'il y ait un lien entre sa et ça mais quel est ce lien eh bien on a modifié paix regarde si on appelle ça f2p dans ce cas cette expression ici tu l'a deviné c'est f2p moins de 1 puisque au lieu d'avoir paix au dénominateur on à témoin deux on a fait une translation de f2p dans ce cas ici ac2 donc la transformer de la place de exponentielle de à tf2 thijs lisse et la transformer de la place de exponentielle de alors qu'est-ce que à 2 combien à ce qu'on a déplacé notre fonction bien de deux donc exponentielle de 2t fois notre fonction f de tekes que c'est ici c'est et à la puissance 3 donc la transformer de la place de exponentielle de 2 t et fois tu es à la puissance 3 c'est ça ou encore on peut dire que la transformer de la place inverse de cette expression là donc trois factorielle / p -2 à la puissance 4 c'est égal à exponentielle de 2t fois tu es à la puissance 3 et si ce n'est pas clair pour toi on peut faire ça dans l'autre sens peut-être que c'était devra donc on va partir de là de la transformer de la place de exponentielle deux de tes fois tu es à la puissance 3 on veut la transformer de la place de ça alors je descends un petit peu faire ça aux jets de la place on veut donc la transformer de la place de exponentielle deux de tes foi athée à la puissance 3 on se rappelle que exponentielle de rater ça nous permet de faire la translation de quelque chose donc on connaît la transformer de la place de thé à la puissance 3 ans et 3 factorielle sur pea la puissance n + 1 donc 3 + 1 4 et donc la transformer de la place de exponentielle de 2t fois tu es la puissance 3 c'est la translation horizontale 2 cette fonction là donc si ça c'est égal à fdp eh bien ça ça va être égal à f2p -2 2 ici puisqu'on à ces deux là un f2p - a ici c'est exponentiel de hâter et donc qu'est-ce que f2p -2 et bien il suffit de remplacer tu es ici par paix - 2 donc ces trois factorielle / p -2 à la puissance 4 et je pense que tu commence à bien comprendre que le plus dur c'est de reconnaître la translation dont il est question et puis de déterminer qu est-ce que à qu'est ce que c'est pour ne pas faire de fautes d'inattention et je pense qu'une bonne façon pour que ça rentre c'est de faire des exercices alors on va s'entraîner on a l'a transformé de la place d'une fonction f2p qui est égal à 2 x p moins 1 fois exponentielle de moins de paix le tout sur paix au carré - de thé plus de alors qu'est ce qu'on a je vais les en un petit peu encore une fois qu'est-ce qu'on a là on a exponentielle ici ça veut dire qu'on a une translation et puis on a un polynôme au dénominateur alors qu'est ce qu'on peut faire avec ça la première chose à laquelle je pense quand je vois un polynôme c'est est-ce que je peux factoriser ça surtout est-ce que je peux factoriser ça facilement à savoir qu en examen dans ce type de problème tu rencontreras un rarement des poulies nome qui se factories avec des nombreux bizarre le plus souvent on peut factoriser ça simplement avec des entier donc quelles sont les deux l'ombre dont le produit ces deux et dont la somme c'est moins deux jal doit être tous les deux négatifs mais là je ne vois pas comment on pourrait facilement factoriser ça comme ça dans ce cas on va essayer de compléter l'identité remarquable et peut-être qu'on va arriver à quelque chose qui ressemble à la transformer de la place de sinus ou de cosinus alors on peut réécrire sa com mais au carré - 2 p et j'écris plus de ici un peu plus loin pour laisser de la place pour compléter les identités remarquables et si ça ne t'ai pas familier je t'invite alors à regarder les vidéos sur les polinum du second degré donc en complétant l'identité remarquable ici on veut transformer sa ce trinôme en un carré parfait donc on cherche de noms dont la somme est égal à moins 2 je te propose -1 et -1 et donc moins un gros carré c'est plus un alors bien sûr je ne peux pas ajouter comme ça sinon ça change le dénominateur donc j'enlève 1 ici aussi maintenant je peux réécrire que ce trinôme c'est égal à p - 1 au carré et ensuite ici on a 2 - 1 c'est juste plus un donc on peut réécrire tout ça c'est égal à le numérateur n'a pas changé deux fois paie moins un voire exponentielle de moins de paix tous assurent paix - 1 au carré +1 et là on a quelque chose d'intéressant on va essayer de voir à quoi ça ressemble par exemple qu'est-ce que la transformer de la place de cosinus de terre on connaît ça c'est égal ap / p o car est plus un ce qui ressemble un petit peu à ça si on avait pu ici et p o car est ici donc si ça c'est quand f2p alors ça qu'est ce que c'est on va ignorer ce terme exponentielle de moins de paix dans un premier temps et alors qu'est ce que la transformer de la place de exponentielle 2 1 fois tu es voix caussinus 2t et bien ça c'est la translation de cette transformé de la place de 1 horizontalement puisqu'on a un ici donc pour obtenir ça on remplace ici p par p - on a donc paix - 1 / p - 1 au carré +1 on se rapproche on vient déjà de retrouver ce terme-là et - 1 / p - un rocard est plus un maintenant dans la vidéo précédente on a vu que tu a transformé de la place de la fonction échelons unités discontinue ans et qui est une fonction de tes fois la transe lattes et d'une fonction f de tdf de thé - cé c'est égal à exponentielle de - cp fois f2p alors il va falloir qu'on soit très prudent ici on va mettre de côté ce qu'on a fait là on va oublier ça parce que je veut redéfinir f2p on va dire que notre nouveau f2p c'est ça hein on va dire que f de thé c'est égal exponentielle de tréfois caussinus d'été et donc on définit la transformer de la place de ça comme grand f2p qui est égal à cette expression paie moins sûr p - 1 au carré plus en j'ai juste défini f de thé comme ça ce qui veut dire que f2p c'est ça ok et donc si ça c'est notre rêve de paix cette expression ici on peut réécrire sas est égale à deux fois alors f2p du coup ce que j'ai encadré en verre ici c'est notre nouveau f2p donc f2p fois exponentielle de - 2 p alors en fait je vais écrire ça pour que ce soit plus évident pour toi deux fois exponentielle de moins de paix fois f2p et donc ça ici ça ressemble à ce qu'on a ici avec c'est égal 2 et donc la transformer de la place inverse de sa donc la transformer de la place inverse de deux fois exponentielle de moins de paix f2p c'est égal à alors on a ce 2 d'abord un qui est juste un facteur donc deux fois la fonction et celle en unités discontinue ans et mais alors qu'est ce que c'est eh bien on a juste à comparer ces deux expressions là ici on a c'est ici on a 2 - c'est moins de dons accès égal de donc la fonction échelons unités discontinue en deux et qui est une fonction de tes fois notre fonction des places est de 2 vers la droite puis ce qu'on a c'est égal 2 et ximun c'est ce même c'est là et ce même sait qui c'est donc 2 et donc ça c'est notre transformé de la place inverse maintenant qu'est-ce que notre fonction notre fonction c'était ça ici fdt égale exponentielle de thé caussinus de thé donc la transformer inverse de ce qu on avait au départ si un de cette fonction là c'est cette expression avec eve de tai chi est égal à exponentielle de tréfois caussinus de thé alors je vais réécrire tout ça correctement un peu plus bas là où il ya de la place donc la transformer de la place inverse de l'expression qu'on avait au départ c'est à dire deux fois p - fois exponentielle de moins de x p le tout sur le polynôme qu'on avait au dénominateur paix au carré - 2 p + 2 c'est égal à cette expression ou f2 témoins deux c'est la transe la t2f de thé donc deux fois la fonction échelons unités discontinue hand c'est à dire qu'ils vont à partir de 2 qui est une fonction de tes fois cette fonction où on remplace t par témoins deux donc exponentielle de thé moins deux fois caussinus de thé -2 et voilà notre résultat on a trouvé la transformer de la place inverse de l'expression qu'on avait au départ alors peut-être que tu penses que je suis passé par toutes ces étapes intermédiaires pour t'aider à bien comprendre le processus mais c'est aussi pour ne pas que je m'embrouille pour ne pas que je fasse des fautes d'inattention moi même et je pense quand même que c'est très important de continuer à faire tout ça d'ailleurs on veut revenir sur toutes ces étapes au départ on avait cette expression là et on a commencé par transformer ce dénominateur en quelque chose de plus utile pour nous donc on a fait apparaître en carré parfait ici et on a obtenu sa ensuite on a vu que si on cherche la transformer de la place de cosinus de thé on obtient paix sur p o car est plus un sauf que nous ici on a payé moins un sur pmu - au carré +1 on s'est donc dit qu'on a multiplié notre fonction fdt donc ici caussinus de thé par exponentielle de 1 x thé et c'est ce qu'on a ici donc la transformer de la place de exponentielle 2 1 fois tu es caussinus de tessé bien paix - 1 / p - o car est plus un c'est bien ce qu'on a encadré ici maintenant on a toujours ce exponentielle de moins de paix et on s'est dit si on a exponentielle de moins de paix dans notre transformé de la place et bien quand on cherche la transformer de la place inverse on doit retomber sur la fonction échelons unités fois la transe la t27 fonction là et on ne s'était pas vraiment occupé de ce2 jusque là parce qu'en fait c'est juste un facteur c'est juste une constante dont on peut facilement s'occuper n'importe quand on a redéfini f2 tu es ici et f2p comme ça et on s'est dit que si elle faisait p c'est ça et qu'on multiplie sa part exponentielle de moins de paix on obtient sa est exponentielle de - cp fois f2p quand on cherche la transformer de la place donc notre résultat ça va être la fonction et celle en unités et j'ai inséré le de ici donc deux fois la fonction et chelon unités fois la transe la t2f du t2 cfdt l'a donc f2 témoins deux donc on a déplacé ce f de tes 2 2 et 1 on a obtenu ce résultat final je te laisse réfléchir à tout ça et je te retrouves dans la prochaine vidéo