Transformation de Laplace de t: L{t}

dans cette vidéo je te propose de continuer à remplir notre table des transformé de la place rappelle tout à la définition de la transformer de la place c'est l2f de tai chi est égal à l'intégrale de 0 à + l'infini de exponentielle de -1 pt fois la fonction qu'on a ici fdt d'été c'est la définition de la transformer de la place la première transformé de la place qu'on a calculé c'était la transformer de la place de 1 on a défini sa comme l'intégrale de 0 à + l'infini de alors notre fonction ici c'est un on a donc seulement exponentielle de - péter d'été ce qui est égale à la primitive de exponentielle de moins prêter c'est à dire moins un sur pf au exponentielle de -1 pt prises entre 0 et plus l'infini on a vu que quand on a aidé intégral impropre comme ici c'est à dire avec une bande qui tend vers plus l'infini on cherche la limite de cette primitive quand tu es en verre plus l'infini quand tu es en verre plus l'infini si on fait l'hypothèse que paix est strictement supérieur à 0 est bien ce terme d'anvers 0 on a donc 0 - ce terme quand est égal zéro exponentielle de 0 c 1 il nous reste moins 1 / p donc la transformer de la place de 1 c'est plus un sur paix et on avait déjà résolu ça avant on continue voyons quelle est la transformer de la place de thé alors ici on avait un c'est comme si on avait été à la puissance 0 maintenant on hâte et c'est comme si on a tu es à la puissance 1 c'est égal à l'intégrale de 0 à + l'infini de exponentielle de - péter fois tdt alors je ne connais pas par coeur la primitive de ce produit là et c'est l'intégration par parti qui va nous permettre de résoudre ça l'intégration par partie permet en quelque sorte décomposé ça en un problème beaucoup plus simple le seul souci c'est que je ne me rappelle pas toujours de l'intégration par partie donc je vais essayer de retrouver ça alors on a le produit de deux fonctions eu x v dont on cherche la dérive et disons par rapport à t1 disons que ce sont deux fonctions de thé sahorre tu connais la règle de dérivation d'un produit de de fonction c'est la dérivée de la première fonction du prime fois la deuxième fonction plus la première fonction eu fois la dérivée de la deuxième fonction v prime si on intègre de chaque côté on obtient une fois v qui est égal à l'intégrale d' une prime vais plus l'intégrale du v primes et comment on veut appliquer ça à notre intégral ici on peut dire que ça c'est ce qu'on cherche donc on soustrait ce terme de chaque côté et alors j'en profite pour changer de côté 1 puisque on veut résoudre pour ça on a donc l'intégrale du fleuve et primes ensuite il ne suffit de soustraire ce terme à celui là c'est égal à une fois v - l'intégrale de du prime v et voilà même si on a du mal à se rappeler exactement cette formule on peut retrouver sa facilement à condition qu'on se souvienne de cette règle de dérivation donc quand on se lance dans une intégration par partie c'est bien de définir v prime comme quelque chose dont on peut facilement retrouver une primitive un puisqu'on va avoir besoin devait il s'y est donc c'est bien de définir eu comme quelque chose que l'on peut dériver facilement puisque on va avoir besoin de une prime ici alors disons que eux c'était et donc que v prime c'est exponentiel de - péter dans ce cas qu'est-ce que v v c'est une primitive de exponentielle de - péter et on a déjà fait ça avant assez -1 surper faux exponentielle de moins tu étais maintenant qu'est-ce que une prime une prime c'est la dérive et de u u c'était une prime et donc un et maintenant on peut appliquer ça donc la transformer de la place de thé c'est égal à une fois avait alors eu c'était alors je vais essayer de conserver mes couleurs donc tu es x v alors baissé -1 sur p x exponentielle de moins et est donc fois - sur pf au exponentielle de moins p&t est alors bien sûr on a ici l'intégrale de 0 à plus cela finit donc ça s'est pris entre 0 et plus ma fille ni moins l'intégrale 2-0 ap lé cela finit 2e prix mme v alors une prime c'est un wc - 1 sur des fois exponentielle de -1 pt -1 surper fois exponentielle de moins et est bien sûr d'été alors est-ce qu'on peut simplifier un peu tout ça on peut essayer la transformer de la place de thé c'est égal à moin té sur p x exponentielle de - péter prix entre 0 et plus l'infini ensuite ici on a un poids moins 1 / p c'est moins 1 / p on peut sortir cette constante de l'intégrale sauf qu'ici on a moins on a donc plus un surper fois l'intégrale de 0 à + l'infini de exponentielle de - péter d'été et ce terme-là devrais te rappeler quelque chose qu'est ce que c'est bien c'est ce qu'on avait avant c'est la transformer de la place de 1 alors on va noter ça et on va garder ça en tête ici on a l'a transformé de la place de 1 et je veux garder sa note et de cette façon parce qu'on va en avoir besoin plus tard pour reconnaître cette même construction maintenant on va s'occuper de ce terme là comme on a une borne infinie ici on calcule ça on calcule - tu es sur pf au exponentielle de - péter en utilisant une borne finie la borne à et on va chercher la limite de cette expression compte à temps vers plus infinie et c'est comme ça qu'on va calculer ce terme-là alors transformé de la place de tct gala alors pour résoudre ça on fait la borne supérieure - la borne inférieure donc la borne supérieure d'abord c'est la limite de moins à surpayer faux exponentielle de - p x h quant à temps vers plus l'infini ensuite on a moins la valeur de cette expression quand tu es égal 0 alors on a moins donc on va avoir plus ensuite on a zéro sur p x exponentielle de - p x 0 ensuite on a ce terme là donc plus un surper fois la transformer de la place de 1 alors qu'est ce qu'on obtient quelle est la limite de cette expression quant à temps vers plus l'infini eh bien tu pourrais dire qu'on a a ici qui est un très grand nombre un qui tend vers l'infini donc avec le moins de vent ça fait un tout petit nombre en nombre qui tend vers moins l'infini sauf qu'on a ici aussi et avec moins de vent et bien exponentielle d'un nombre très petit d'un nombre qui tend vers moins l'infini eh bien ça tend vers zéro et ça tend vers zéro bien plus rapidement que ça ne tend vers moins l'infini si tu veux on pourrait dire que exponentielle c'est une fonction bien plus forte si ça t'aide à comprendre ce qu'il se passe et tu peux essayer ça avec une calculatrice si cet amuse et si tu ne me crois pas donc ce terme-là tend vers zéro ensuite exponentielle 2 0 c'est un mais on multiplie par 0 et 6 1 donc ça c'est aussi 0 ce qui nous arrange bien parce que ces deux termes disparaissent il nous reste la transformer de la place de tai chi est égal à 1 / p fois la transformer de la place de 1 et on connaît la transformer de la place 2 1 transformé de la place de 1 on avait trouvé un sur paix avec la condition que paix est strictement supérieur à 0 d'ailleurs ici aussi on a dû faire la même hypothèse que p supérieur à 0 pour que ce terme tendent vers zéro parce que c'est seulement si paix est strictement positif qu'on a quelque chose qui tend vers l'infini ici et donc que ce terme tend vers zéro donc la transformer de la place de thé c'est égal à 1 / p x 1 / paie donc un sur paix au carré avec bien sûr p strictement supérieur à zéro et aurait utilisé ce résultat dans la prochaine vidéo pour déterminer la transformation de la place de thé à n'importe quelle puissance un de tes à la puissance n à bientôt